作业帮外拿破仑三角形怎么证
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 09:08:30
外拿破仑三角形怎么证
外拿破仑三角形怎么证
外拿破仑三角形怎么证
这里提供一种最简单的证明方法,只需初中的水平就可以理解了：
证明：
如图,分别以△ABC的边BC、AC、AB为等边三角形边长,向△ABC外作等边三角形（△BCC'、△ACA'、△ABB'）,设这三个三角形的中心分别为D,E,F,
则：∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°
以点A为圆心,以AF长为半径作弧；以点E为圆心,以DC长为半径作弧.设两弧在多边形AFBDCE内交于点G.则AG=AF,GE=DC.
连接GF、GA、GE,DE、DF、EF.
∵△ABF、△BCD、△ACE都是底角为30°的等腰三角形（即∠FAB=∠FBA=∠DBC=∠DCB=∠EAC=∠ECA=30°）
∴△ABF∽△BCD∽△ACE,
∴AF/AB = AE/AC = DC/BC
又∵AG=AF,GE=DC
∴AG/AB = AE/AC = GE/BC
∴△AGE∽△ABC
∴∠GAE=∠BAC
∴∠FAG = ∠EAF-∠GAE = ∠EAF-∠BAC = ∠FAB+∠EAC = 60°
又∵AG=AF
∴△AGF为等边三角形
∴AG=AF,∠AGF=60°
∵△AGE∽△ABC
∴∠AGE=∠ABC
又∵∠FBD = ∠ABC+∠FBA+∠DBC = ∠ABC+60°
∠FGE = ∠AGE+∠AGF = ∠AGE+60°
∴∠FBD=∠FGE
∵在△FBD和△FGE中,
FB=FG,∠FBD=∠FGE,BD=GE
∴△FBD≌△FGE(SAS)
∴FD=FE
同理,FD=DE
∵FD=DE=FE
∴△DEF为等边三角形
即“外拿破仑三角形”是等边三角形.（在任意一个三角形的三条边上分别向外做出三个等边三角形,则这三个等边三角形的中心也构成一个等边三角形）
证明“内拿破仑三角形”是等边三角形过程与此相同,有兴趣的话你也可以自己试试
看参考资料
问拿破仑咯