设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n

来源：学生作业帮助网编辑：作业帮时间：2024/11/15 12:15:05

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设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n
设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n

设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n
首先确定 A的秩
由1=|E|=|A^2|=|A|×|A|
可知 |A|不等于0,因此A的秩为n.
A^2=E=> A^2-E=0=>(A-E)(A+E)=0
为方便计,记 B=A-E, C=A+E
则 BC=0, 且B+C=2A
由公式： r(B+C)≤r(B)+r(C) 知
n=r(2A)=r(B+C)≤r(B)+r(C).(1)
再由Sylvester公式：r(BC)≥r(B)+r(C)-n 知
0=r(BC)≥r(B)+r(C)-n, 因此有：
n≥r(B)+r(C).(2)
结合(1)(2) 得：
r(B)+r(C)=n,
即 r(A-E)+r(A+E)=n

设A 为n×n矩阵,且 A*2=E,证明：秩（A+E)+秩（A-E)=n 设A为n*n矩阵,证明:如果A^2=E,那么R(A+E)+R(A-E)=n 设n阶矩阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n 设A,B为n阶矩阵,如果E+AB可逆,证明E+BA可逆. 设A为n阶矩阵,|E-A|≠0,证明:(E+A)(E-A)*=(E-A)*(E+A) 证明题：设A为n阶矩阵,且A^2-A=2E.证明A可对角化. 设方阵 A=E-2aaT,其中 E 为 n 阶单位矩阵,a 为 n 维单位列向量,证明：A为对称的正交矩阵. 设方阵 A=E-2aaT,其中 E 为 n 阶单位矩阵,a 为 n 维单位列向量,证明：A为对称的正交矩阵. 设n方阵A满足A^2=A,E为n阶单位矩阵,证明R(A)+R(A-E)=n 设A,A-E都是n阶正定矩阵,证明E-A^-1为正定矩阵设n阶实方阵A=A^2,E为n阶单位矩阵,证明：R(A)+R(A-E)=n 设n阶矩阵A满足A平方=A,E为n阶单位矩阵,证明r(A)+r(A-E)=n. 设A为N阶反对称矩阵,证明A^2-E的绝对值等于（-1)^N*(A+E)^2 设A为n阶方阵,E为n阶单位矩阵,证明R(A+E)+R(A-E)》n, 设A,B为N阶矩阵,满足2(B^-1)A=A-4E,E为N阶单位矩阵,证明：B-2E为可逆矩阵,并求它的逆矩阵设A是n阶矩阵,证明：rank{A+E}+rank{A-E}>=n. 设α为n维列向量,E为n阶单位矩阵,证明A=E-2αα^T/(α^Tα)是正交矩阵设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明：|A*|=|A|^(n-1)