求一个积分 ∫（2-x^2）^(3/2)dx 在0到1上的定积分

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 11:34:08
求一个积分 ∫（2-x^2）^(3/2)dx 在0到1上的定积分
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求一个积分 ∫（2-x^2）^(3/2)dx 在0到1上的定积分
求一个积分 ∫（2-x^2）^(3/2)dx 在0到1上的定积分

求一个积分 ∫（2-x^2）^(3/2)dx 在0到1上的定积分
如图

刚才的做错了- -！如楼上

先求∫(2-x^2)^(3/2)dx
对上式令x=√2sint, t∈(-π/2,π/2)
上式=4∫(cost)^4dt
=∫(1+cos2t)^2dt
=∫dt+∫cos2td(2t)+∫(cos2t)^2dt
=t+sin2t+(1/2)∫(1+cos4t)dt
=t+sin2t+(1/2)∫dt+(1/8)∫cos4td(4t)
=...

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先求∫(2-x^2)^(3/2)dx
对上式令x=√2sint, t∈(-π/2,π/2)
上式=4∫(cost)^4dt
=∫(1+cos2t)^2dt
=∫dt+∫cos2td(2t)+∫(cos2t)^2dt
=t+sin2t+(1/2)∫(1+cos4t)dt
=t+sin2t+(1/2)∫dt+(1/8)∫cos4td(4t)
=(3t/2)+sin2t+(1/8)sin4t+C=f(t)
当x=0时 t=0，当x=1时 t=π/2
由此可知该定积分在换元后变为无界函数的广义积分（反常积分）
所以，原定积分=lim(ε→0+)∫(0~π/2-ε)f(t)|(π/2-ε~0)=3π/4

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