a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 06:55:37
a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
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a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.

a^2-b^2=12,求a^2+ab+b^2的最小值 请用高中阶段知识解答.
假设a=2根号3/cosx,b=2根号3tanx,x属于（-π,π）,且x不等于+-π/2,
则a,b满足a^2-b^2=12,
a^2+ab+b^2=12*（1/(（cosx)^2)+tanx/cosx+tanx^2)
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(1+(sinx)^2+sinx）/（cosx）^2=(1+(sinx)^2+sinx）/(1-(sinx)^2)
=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)-1
设k=sinx+2 则k属于（1.3）
(2+sinx)/(1-(sinx)^2)=k/(4k-k^2-3）=1/（4-（k+3/k)大于等于1/（4-2根号3）=1+根号3/2
1/（cosx^2)+tanx/cosx+tanx^2=(2+sinx)/(1-(sinx)^2)+1大于等于根号3/2
a^2+ab+b^2的最小值是6*根号3

...

a^2>=0,b^2>=0 b=0 a=根号12 a^2+ab+b^2=12

a^2+ab+b^2=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),
设F(b)=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),则F'(b)=(4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12)/(b^2+12)^(1/2),
当b>=0时,显然F'(b)>0,
设R(b)=4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12,(b<0)
所以R(b)=(4b^4+...

全部展开

a^2+ab+b^2=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),
设F(b)=12+2b^2+b(b^2+12)^(1/2),则F'(b)=(4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12)/(b^2+12)^(1/2),
当b>=0时,显然F'(b)>0,
设R(b)=4b(b^2+12)^(1/2)+2b^2+12,(b<0)
所以R(b)=(4b^4+48b^2+144)^(1/2)-(16b^4+192b^2)^(1/2),
因为16b^4+192b^2-4b^4+48b^2+144=12b^4+144b^2+144=12(b^4+12b^2+12)
=12((b^2+6)^2-24)>0,所以当b<0时,(4b^4+48b^2+144)^(1/2)<(16b^4+192b^2)^(1/2),
所以当b<0时,R(b)<0,
所以当b<0时,F'(b)<0,又因为当b>=0时,F'(b)>0,所以b=0时,F(b)最小,
即b=0时,a^2+ab+b^2取最小值,最小值为12

收起

a^2+ab+b^2=(a/2+b）^2+3/4*a^2
当a/2+b=0时可得最小值3/4*a^2， b=-a/2，带入a^2-b^2=12 =3/4*a^2
所以a^2+ab+b^2的最小值为12.

已知a+b=12,ab=20,求a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2的值 已知a+b=12,ab=20,求a(a+b)(a-b)-a(a+b)^2的值 若a/b=2,求分式a*a+ab-b*b/a*a-2ab+2b*b 已知a+2b=0,求a*a+2ab-b*b/2a*a+ab+b*b a(a-1)-(a×a-b)=-5,求(a×a+b×b)÷2-ab 已知(a+b)(a+b)=20,ab+2,求(a-b)(a-b)的值 a+b=1,ab=-12,求a^2+b^2、a-b的值 已知3a*a+ab-2b*b=0(a不等于0,b不等于0),求a/b-b/a-(a*a+b*b)/ab的值. ab=-2 a+b=3 求ab(a²+b²)-a-b b/a+a/b=3,求2ab/(a*a+b*b)-(3a*a+ab+3b*b)/2ab的值 急.如果a*a-ab=9,ab-b*b=4.求a*a-b*b和a*a-2ab+b*b的值 已知a*a-ab=3,ab+b*b=-5,求代数式a*a+b*b与a*a-2ab-b*b的值 a+b=2 求ab最大值 已知a^2-ab=17,ab-b^2=12,求a^2-b^2 a除以（a-b)=2,求（a²+ab)(a-5b)除以（a-b)(a²-5ab) 已知a-b=1,ab=12求a^2b-ab^2的值 怎么算已知a/b=2,求(a*a-ab+b*b)/(a*a+b*b) 怎么算已知a/b=2,求(a*a-ab b*b)/(a*a b*b)