初三数学第一轮总复习——圆中的有关概念和性质

初三数学第一轮总复习——圆中的有关概念和性质
初三数学第一轮总复习——圆中的有关概念和性质

初三数学第一轮总复习——圆中的有关概念和性质
九 年 数学 学科教学案 编码 100 2010年 周 课时
课 题 圆锥的侧面积 课 型 新授课
主备人 苗启春 审 核 李秀敏 课 时 1 学生姓名
学习目标
1、经历圆锥的侧面积计算公式的探索过程；
2、掌握圆锥的侧面积计算公式,会利用公式进行计算,并会解决实际问题
3、让学生观察将圆锥的曲面展开在一个平面上的图形.回顾圆锥及其侧面积展开图之间的关系
学习重点 圆锥侧面积的计算及计算公式
学习难点 圆锥侧面积计算公式的推导过程需要较强的空间想象能力.
学习方法 自主探索
学 习 过 程
我 的 课 前 预 习 温故而知新：
1．果弧长为L,圆心角为n,圆的半径为r,那么,弧长的计算公式为：
L= 180/nπr
2．扇形面积的计算公式为：S= 360/nπr² 或 S= 2/1RL
3．你在生活中遇到的圆锥形的物体有：
4．我们知道圆锥是由一个 圆 （底面）和 扇形 （侧面）围成的.
图1 图2
5．圆锥的母线长等于其侧面展开图的 .圆锥侧面展开图的弧长等于圆锥底面圆
的 .
我 的 探 究 与 交 流 推导圆锥侧面积公式：（试一试,你能行!想一想扇形的面积如何求.）
圆锥的侧面积与底面积之和被称为圆锥的全面积,你能用上述方法求出圆锥的全面积吗?
知识的应用[例]圣诞将近,某商家正在制作圣诞节的圆锥形纸帽,已知纸帽的底面周长为58cm.,高为20cm,要制作20顶这样的纸帽至少要用多少平方厘米的纸?（结果精确到 ）
我 的 探 究 与 交 流 把一个用来盛爆米花的圆锥形纸杯沿母线剪开,可得一个半径为24cm、圆心角为118º的扇形,求该纸杯的底面半径和高度.（结果精确到0.1cm）
圆锥的侧面展开图是一个半圆,其母线与高的夹角是多少?
我的回顾与反思
我 的 检 测 与 成 果
1．圆锥的底面半径为4cm,母线长为5cm,那么它的侧面积是多少?
2．圆锥母线与高的夹角为30º,母线长为6cm,它的侧面积是 全面积是
3.已知直角三角形ABC的斜边为13一条直角边AC=5以直线BC为轴旋转一周得到一个圆锥,求这个圆锥的表面积.
4．圆锥的底面半径为1,母线长为3.一只蚂蚁要从底面圆周上一点B出发,沿圆锥侧面爬到过母线AB的轴截面上另一母线AC上,问它爬行的最短路程是多少?

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【数学中的“圆”】
〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.141592...

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【数学中的“圆”】
〖圆的定义〗
几何说：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆。定点称为圆心，定长称为半径。
轨迹说：平面上一动点以一定点为中心，一定长为距离运动一周的轨迹称为圆周，简称圆。
集合说：到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆。
〖圆的相关量〗
圆周率：圆周长度与圆的直径长度的比叫做圆周率，值是3.14159265358979323846…，通常用π表示，计算中常取3.1416为它的近似值。
圆弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧。连接圆上任意两点的线段叫做弦。经过圆心的弦叫做直径。
圆心角和圆周角：顶点在圆心上的角叫做圆心角。顶点在圆周上，且它的两边分别与圆有另一个交点的角叫做圆周角。
内心和外心：过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆，其圆心叫做三角形的外心。和三角形三边都相切的圆叫做这个三角形的内切圆，其圆心称为内心。
扇形：在圆上，由两条半径和一段弧围成的图形叫做扇形。圆锥侧面展开图是一个扇形。这个扇形的半径成为圆锥的母线。
〖圆和圆的相关量字母表示方法〗
圆—⊙ 半径—r 弧—⌒ 直径—d
扇形弧长／圆锥母线—l 周长—C 面积—S
〖圆和其他图形的位置关系〗
圆和点的位置关系：以点P与圆O的为例（设P是一点，则PO是点到圆心的距离），P在⊙O外，PO＞r；P在⊙O上，PO＝r；P在⊙O内，PO＜r。
直线与圆有3种位置关系：无公共点为相离；有两个公共点为相交；圆与直线有唯一公共点为相切，这条直线叫做圆的切线，这个唯一的公共点叫做切点。以直线AB与圆O为例（设OP⊥AB于P，则PO是AB到圆心的距离）：AB与⊙O相离，PO＞r；AB与⊙O相切，PO＝r；AB与⊙O相交，PO＜r。

两圆之间有5种位置关系：无公共点的，一圆在另一圆之外叫外离，在之内叫内含；有唯一公共点的，一圆在另一圆之外叫外切，在之内叫内切；有两个公共点的叫相交。两圆圆心之间的距离叫做圆心距。两圆的半径分别为R和r，且R≥r，圆心距为P：外离P＞R+r；外切P=R+r；相交R-r＜P＜R+r；内切P=R-r；内含P＜R-r。
【圆的平面几何性质和定理】
〖有关圆的基本性质与定理〗
圆的确定：不在同一直线上的三个点确定一个圆。
圆的对称性质：圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线。圆也是中心对称图形，其对称中心是圆心。
垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧。逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。
〖有关圆周角和圆心角的性质和定理〗
在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两个圆周角，两条弧，两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半。
直径所对的圆周角是直角。90度的圆周角所对的弦是直径。
〖有关外接圆和内切圆的性质和定理〗
一个三角形有唯一确定的外接圆和内切圆。外接圆圆心是三角形各边垂直平分线的交点，到三角形三个顶点距离相等；内切圆的圆心是三角形各内角平分线的交点，到三角形三边距离相等。
〖有关切线的性质和定理〗
圆的切线垂直于过切点的直径；经过直径的一端，并且垂直于这条直径的直线，是这个圆的切线。
切线判定定理：经过半径外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线。
切线的性质：（1）经过圆心垂直于这条半径的直线是圆的切线。（2）经过切点垂直于切线的直线必经过圆心。（3）圆的切线垂直于经过切点的半径。
切线的长定理：从圆外一点到圆的两条切线的长相等。
〖有关圆的计算公式〗
1.圆的周长C=2πr=πd 2.圆的面积S=πr² 3.扇形弧长l=nπr/180
4.扇形面积S=nπr²/360=rl/2 5.圆锥侧面积S=πrl
【圆的解析几何性质和定理】
〖圆的解析几何方程〗
圆的标准方程：在平面直角坐标系中，以点O（a，b）为圆心，以r为半径的圆的标准方程是（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。
圆的一般方程：把圆的标准方程展开，移项，合并同类项后，可得圆的一般方程是x^2+y^2+Dx+Ey+F=0。和标准方程对比，其实D=-2a，E=-2b，F=a^2+b^2。
圆的离心率e=0，在圆上任意一点的曲率半径都是r。
〖圆与直线的位置关系判断〗
平面内，直线Ax+By+C=0与圆x^2+y^2+Dx+Ey+F=0的位置关系判断一般方法是：
1.由Ax+By+C=0，可得y=（-C-Ax）／B，（其中B不等于0），代入x^2+y^2+Dx+Ey+F=0，即成为一个关于x的一元二次方程f（x）=0。利用判别式b^2-4ac的符号可确定圆与直线的位置关系如下：
如果b^2-4ac>0，则圆与直线有2交点，即圆与直线相交
如果b^2-4ac=0，则圆与直线有1交点，即圆与直线相切
如果b^2-4ac<0，则圆与直线有0交点，即圆与直线相离
2.如果B=0即直线为Ax+C=0，即x=-C／A，它平行于y轴（或垂直于x轴），将x^2+y^2+Dx+Ey+F=0化为（x-a）^2+（y-b）^2=r^2。令y=b，求出此时的两个x值x1、x2，并且规定x1当x=-C／Ax2时，直线与圆相离
当x1当x=-C／A=x1或x=-C／A=x2时，直线与圆相切

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