求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 05:33:42
求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积
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求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积
求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积

求由曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围城的图形的面积
欲求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0围成的图形的面积：
（1）求曲线y^2=x+4与x+2y-4=0的交点,y^2=8-2y,解得交点为（0,2）和（12,-4）,x+2y-4=0与x轴交点为（4,0）、与y轴交点为（0,2）,即曲线y^2=x+4与x+2y-4=0恰好交于y轴上
（2）作出曲线图,欲求两曲线围成的图形面积即求解两曲线为边界条件的积分函数,简化之,则由图可将求解面积拆分成四部分,分别是：
曲线y^2=x+4在坐标轴第四象限与x轴的负轴、y轴的正轴形成的图形即在x属于[-4,0]区间与x轴围成的图形面积S1；
曲线x+2y-4=0在坐标轴第一象限与x轴的正轴、y轴的负轴形成的三角形面积S2；
曲线y^2=x+4在坐标轴第二第三象限在x属于[-4,12]区间与x轴围城的图形面积S3；
曲线x+2y-4=0在第二象限在x属于[4,12]区间与x轴围城的三角形面积S4
则题中所求面积S=S1+S2+S3-S4
（3）其中,S2、S4都是三角形,
S2=（1/2）*（2*4）=4,
S4=（1/2）*[（12-4）*（|-4|）]=16
（4）求解S1和S3需要对函数y^2=x+4对x在x的对应区间[-4,0]和[-4,12]的积分,
S1对应的x的积分区间为[-4,0],曲线函数为y=（x+4）^（1/2）
S3对应的x的积分区间为[-4,12],曲线函数为y=-（x+4）^（1/2）
则d（S1）=（x+4）^（1/2）dx,x属于[-4,0],积分得S1=16/3
d（S3）=[|-（x+4）^（1/2）|]dx,x属于[-4,12],积分得S3=128/3
（5）则围成的图形面积S=S1+S2+S3-S4=16/3+4+128/3-16=36
所围成的图形面积为36

答案复杂了，如果以y为积分变量，S= ∫ [（4-2y）-(y^2-4)] dy，∫定积分的下限-4和上限2不知道怎么输入 ，通过定积分很快可以得去答案。

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