作业帮勾股定理的精选例题关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 10:34:32
勾股定理的精选例题关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
勾股定理的精选例题
关于勾股定理的一系列的有代表性的例题
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勾股定理·典型例题
能力素质
例1 如图3.16－1,已知：∠ABD＝∠C＝90°,AC＝BC,∠DAB＝30°,AD＝8,求BC的长．
解析 先在Rt△ABD中,求出AB,继而在Rt△ACB中求出BC．
解 Rt△ABD中,
∵∠ABD＝90°,∠DAB＝30°,
由勾股定理知：
AB2＝AD2－BD2＝82－42＝48．
在△ABC中,∠C＝90°,AC＝BC．
∵AC2＋BC2＝AB2,
∴2BC2＝48,
∴BC2＝24,
例2 直角三角形斜边长为2,两直角边和为6,求此直角三角形面积．
解 设直角边为a、b,
∴a2＋b2＝4．
点击思维
例3 如图3.16－2,沿AE折叠长方形,使D落在BC边上的点F处,已知： AB＝8cm,BC＝10cm,求EC的长．
解析 因△ADE与△AFE重合,所以△ADE≌△AFE,于是AF＝AD＝BC＝10cm,EF＝DE．
可求得BF、FC的长．
由EF＋EC＝DC,
可利用EF2＝EC2＋FC2,
列方程求解．
解 由题意知：△ADE≌△AFE,
∴AF＝AD＝BC＝10cm, EF＝DE．
∴BF2＝AF2－AB2＝102－82＝62
∴BF＝6(cm)．
∴FC＝BC－BF＝10－6＝4(cm)．
设EC＝xcm,则EF＝(8－x)cm．
在△EFC中,∠C＝90°,
∴FC2＋EC2＝EF2．
∴42＋x2＝(8－x)2．
∴x＝3cm．
即EC＝3(cm)．
点评 当已知直角三角形关于边长的两个条件时,可利用勾股定理列方程求解．
例4 已知直角三角形的两边长为3、4,求另一边长．
解析 两边长为3、4,分两类
(1)3、4是直角边长；
(2)4是斜边长．
例5 如图3.16－3,已知：∠B＝∠D＝90°,∠A＝60°,AB＝4,CD＝2,求四边形ABCD的面积．
解 延长AD、BC交于E．
∵∠A＝60°,∠B＝90°,
∴∠E＝30°．
∴AE＝2AB＝8,CE＝2CD＝4,
∴BE2＝AE2－AB2＝82－42＝48．
DE2＝CE2－CD2＝42－22＝12．
∴S四边形ABCD＝S△ABE－S△CDE
点评 不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形的方法,把四边形面积转化为两个三角形面积之差．
学科渗透
例6 如图3.16－4中,已知△ABC中,AB＝AC,D为BC上的任一点．求证：AD2＋BD·DC＝AB2．
解析 证明线段的平方问题,应充分运用勾股定理和代数公式,因此需要构造直角三角形,故作BC边上的高AE．
证明 过A点作AE⊥BC于E．
∵AB＝AC,
∴BE＝EC．
又∵AE⊥BC,
∴AB2＝AE2＋BE2,
AD2＝AE2＋ED2．
∴AB2－AD2＝BE2－ED2
＝(BE＋ED)(BE－ED)(平方差公式)
＝(EC＋ED)(BE－ED)
＝CD·BD．
∴AD2＋BD·DC＝AB2．
变式 若D在BC的延长线上,求证：AB2＋BD·DC＝AD2．(同学们自行练习)
解 如图3.16－5：