各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,(an-2)²=8S(n-1) （n>=2）证明an是等差数列并求通项公式

各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,(an-2)²=8S(n-1) （n>=2）证明an是等差数列并求通项公式
各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,(an-2)²=8S(n-1) （n>=2）
证明an是等差数列并求通项公式

各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,a1=2,(an-2)²=8S(n-1) （n>=2）证明an是等差数列并求通项公式
(an-2)²=8S(n-1)
(an+1-2)^2=8Sn 相减
(an+1-2)^2-(an-2)²=8an
an+1^2-4an+1-an^2+4an=8an
(an+1^2-an^2)=4an+1+4an
(an+1+an)(an+1-an)=4(an+1+an) 因为各项均为正数,所以an+1+an>0
所以 an+1-an=4
所以{an}为等差数列,公差d=4,首项a1=2
an=a1+(n-1)d=4n-2

有S1=a1,即(a1-2) ²=8a1-1,a1=2并不适合这个式子，所以你的题目是错题，我帮你改改：
已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且（an+2) ²=8Sn+1 ，求数列{an}的通项。
由（an+2) ²=8Sn+1得
（a(n-1)n+2) ²=8S(n-1)+1
两式相减得（an+2) ²-...

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有S1=a1,即(a1-2) ²=8a1-1,a1=2并不适合这个式子，所以你的题目是错题，我帮你改改：
已知各项均为正数的数列an的前n项和为Sn,且（an+2) ²=8Sn+1 ，求数列{an}的通项。
由（an+2) ²=8Sn+1得
（a(n-1)n+2) ²=8S(n-1)+1
两式相减得（an+2) ²-（a(n-1)+2) ²=8Sn+1-8S(n-1)-1
即an²-a(n-1)²+4an-4a(n-1)=8(Sn-S(n-1))
an²-a(n-1)²+4an-4a(n-1)=8an
an²-a(n-1)²-4an-4a(n-1)=0
即[an+a(n-1)][an-a(n-1)-4]=0
因为和列{an}是各项均为正数的数列
an+a(n-1)≠0
所以an-a(n-1)=4
所以数列{an}是以a1首项，4为公差的等差数列
在（an+2) ²=8Sn+1中有S1=a1
即(a1+2) ²=8a1+1
解得a1=1或a1=3
即数列{an}通项是an=1+4(n-1)=4n-3或an=3+4(n-1)=4n-1

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