若方程x^7+x^3/3+1003x^2=Gx有一个正根a,证明方程7x^6+x^2+2006x=G必有一个小于a的正根.望各位仁兄多多指教!

若方程x^7+x^3/3+1003x^2=Gx有一个正根a,证明方程7x^6+x^2+2006x=G必有一个小于a的正根.望各位仁兄多多指教!
若方程x^7+x^3/3+1003x^2=Gx有一个正根a,证明方程7x^6+x^2+2006x=G
必有一个小于a的正根.望各位仁兄多多指教!

若方程x^7+x^3/3+1003x^2=Gx有一个正根a,证明方程7x^6+x^2+2006x=G必有一个小于a的正根.望各位仁兄多多指教!
设f(x)=x^7+x³/3+1003x²-Gx
则f(a)=0=f(0),a>0,由中值定理得
在区间(0,a)内有必有一点b,使得
f'(b)=0,而f'(b)=7b^6+b²+2006b-G
∴7b^6+b²+2006b-G=0
即b是方程7x^6+x²+2006x=G的小于a的正根