作业帮已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 12:15:53
已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2
已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2
已知数列an,的前n项和为Sn,a1=1,且S(n+1)=4an+2
如果不用特征根法,还有一个比较经典的方法你可以借鉴.
名字不妨叫做凑等比数列法.
S(n+1)=4an+2,所以Sn=4a(n-1)+2
相减得：a(n+1)=4an-4a(n-1)
下面,求出适合的数字b,c使得： (待定系数法)
a(n+1)+b*an=c[an+b*a(n-1)]
这个式子跟上个式子是等价的,所以有
c-b=4,bc=-4. 求出b=-2,c=2.
即 a(n+1)-2an=2[an-2a(n-1)],令通项bn=a(n+1)-2an,得到bn=2b(n-1)为一等比数列.
求b1. b1=a2-2a1,由初始的S(n+1)=4an+2知道S2=a1+a2=4+2=6
于是求出a2=5,再代入求出b1=5-2=3
这就求出了bn的通项公式 bn=3*2^(n-1)=3*2^(n-1)
bn=a(n+1)-2an, 2b(n-1)=2an-4a(n-1),2^(n-1)*b1=2^(n-1)*a2-2^n*a1
一共是n项,需要对其求和
左边是 2^(n-1)b1+.+2b(n-1)+bn ; 式(1)
右边是 a(n+1)-2^n*a1=a(n+1)-2^n . 式(2)
左边等于右边,对左边n项求和：设Bn等于左边的和式,即式（1）
Bn=3*2^(n-1)+3*2^(n-1)+.+3*2^(n-1)一共n个,
所以Bn=3n*2^(n-1)=a(n+1)-2^n
所以a(n+1)=(3n+2)2^(n-1)
通项an=(3n-1)2^(n-2)
以上是完整解答.
s2=a1+a2=4*a1+2=>a2=5
s3=1+5+a3=4*5+2=>a3=16
s4=1+5+16+a4=4*16+2=>a4=44
s5=1+5+16+44+a5=4*44+2=>a5=112
不知道你问的是啥
S(n+1)=4an+2
所以Sn=4a(n-1)+2
相减得a(n+1)=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-2a(n-1)]
所以：
{an-2a(n-1)}为等比数列！公比为2
因为S2=4a1+2=6=1+a2,所以a2=5,
所以等比数列首项为：a2-2a1=3
所以an-...
全部展开
S(n+1)=4an+2
所以Sn=4a(n-1)+2
相减得a(n+1)=4an-4a(n-1)
a(n+1)-2an=2an-4a(n-1)=2[an-2a(n-1)]
所以：
{an-2a(n-1)}为等比数列！公比为2
因为S2=4a1+2=6=1+a2,所以a2=5,
所以等比数列首项为：a2-2a1=3
所以an-2a(n-1)=3*2^(n-2)
所以an/2^n-a(n-1)/2^(n-1)=3/4
即：{an/2^n｝为等差数列，公差为3/4
首项为：a1/2=1/2
an/2^n=1/2+3(n-1)/4=(3n-1)/4
an=2^(n-2)*(3n-1)
n=1 a1=1也满足an
所以：
an=2^(n-2)*(3n-1)
a(n-1)=2^(n-3)*(3n-4)
Sn=4a(n-1)+2=2^(n-1)*(3n-4)+2
收起