如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证：OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过

如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证：OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过
如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD
求证：OP=OQ.
着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!
速度!不回答的别给我瞎答,要过程,不要思路!不会做的人不用搜索了,没有!

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如图,在梯形ABCD中,AB∥CD,AC、BD相交于点O,P、Q分别在AD、BC上,且∠APB=∠CPD,∠AQB=∠CQD求证：OP=OQ.着急,今天中午12点前能做出来的,追加100悬赏!不限日期!越快越好!速度!不回答的别给我瞎答,要过

有什么难的?简单的相似罢了,哪里用什么正弦定理?

好难 奥赛题的程度了 我以高中生的学力解不出

如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ
商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；
若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=...

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如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ
商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；
若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点也只有一组，此时⊿PBC为等腰三角形，PB=PC，⊿QAD也为等腰三角形QA=QD；
若AD，BC不平行，即ABCD为梯形是找不出一组这样的点，同时满足上述条件的。
当满足上述条件时，AD必须垂直∠BPC的角平分线，同时，BC必须垂直∠AQD的平分线，满足此条件，恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD，所以，梯形不会满足此条件。
所以…
不知你的题目的出处，请核查

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这好像是2007，年左右的集训队的题，用三角函数可以算出来，比较麻烦（用斯特维尔特定理算OP^2 ??）。以前有个比较精妙的相似的方法，忘了,好多年了（可能是延长DA,CB,CP,QA,DQ,PB什么的，反正是往上延长）。应该是有条线段向上旋转，但是我忘了！！！！！！！...

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这好像是2007，年左右的集训队的题，用三角函数可以算出来，比较麻烦（用斯特维尔特定理算OP^2 ??）。以前有个比较精妙的相似的方法，忘了,好多年了（可能是延长DA,CB,CP,QA,DQ,PB什么的，反正是往上延长）。

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过O做EF平行上下底交AD，BC分别E,F连接PF,QE
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/C...

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过O做EF平行上下底交AD，BC分别E,F连接PF,QE
得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD
又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD=BF/FC
BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线（三角形角平分线性质逆定理）
BPF=CPF ∠APB=∠CPD
所以EPF=CPF+CPD=90 EPF直角三角形 OP中线
所以OP=1/2EF
同理OQ=1/2EF
故OP=OQ得证
法2
由正弦定理三角形DPC中
CD/CP=sinCPD/sinPDC=sinAPB/sin(180-BAP)=sinAPB/sinBAP=AB/BP
所以BP/CP=AB/CD
延长CP到E使PE=PB 延长PQ到F使QA=QF.连接AE,BF
BP/CP=EP/CP=AB/CD=AO/OC 故OP//AE
所以OP/AE=CO/CA=CO/(CO+AO)=CD/(CD+AB)
OP=AE*CD/(CD+AB)
易证APE全等APB AE=AB即OP=AB*CD/(CD+AB)
同理OQ=AB*CD/(CD+AB)
所以OP=OQ

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其实我跟a1287191927是一个人！！都是小号！！！

慕野清流 给的第一个方法中，用到正弦定理得到CD/CP=AB/BP

这个结论不用正弦定理也可证明：

向上延长PA至A‘，使A'B=AB，则∠BA'A=∠BAA'=∠CDP

又∠A'PB=∠CPD,所以△A'BP相似于△DCP

所以CD/CP=A'B/BP=AB/BP

于是，不用正弦定理就可以证明了 

你说三角形角平分线性质超出大纲，那么不用这性质也可以证明下面的结论：

BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线（三角形角平分线性质逆定理）

证：如图，延长PF至P'使P'C=PC，∠CPP'=∠CP'P

BF/FC=BP/CP=BP/CP'

所以△BFP相似于△CFP'

∠BPF=∠CP'F=∠CPF

即PF是BPC角平分线

1.过O做EF平行上下底交AD，BC分别E,F

得BF/FC=AE/ED=AO/OC=BO/OD=AB/CD 

2.又有EO/CD=AO/AC =BO/BD=FO/CD得EO=FO

3,延长BA,CP交予M

由AM∥CD得CD/CP=MA/PM

易见PA是角平分线，得MA/PM=AB/BP

 所以BP/CP=AB/CD=BF/FC

BP/CP=BF/FC得PF是BPC角平分线

∠BPF=∠CPF     ，   ∠APB=∠CPD

所以EPF=CPF+CPD=90 

所以op是直角三角形 EPF的斜边中线   

所以OP=1/2EF

同理OQ=1/2EF

故OP=OQ 

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如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ
商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；
若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=...

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如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AC、BD相交于点O，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，求证：OP=OQ
商讨与分析：若ABCD为矩形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点只有一组，即P为AD的中点，Q为BC的中点；
若ABCD为平行四边形，P、Q分别在AD、BC上，且∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD，满足此条件的点也只有一组，此时⊿PBC为等腰三角形，PB=PC，⊿QAD也为等腰三角形QA=QD；
若AD，BC不平行，即ABCD为梯形是找不出一组这样的点，同时满足上述条件的。
当满足上述条件时，AD必须垂直∠BPC的角平分线，同时，BC必须垂直∠AQD的平分线，满足此条件，恐怕唯有矩形ABCD或平行四边形ABCD，所以，梯形不会满足此条件。
所以…
加油

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忏立纟之夕夕幺

其实本题的结论可以推广到一般的梯形，只是P点的位置不一定在AD上，也可能在DA的延长线上(不妨假定CD＞AB)，对于Q点也有类似的情况；我们可以联想一下几何光学里的反射定律，如果由B点发出的光线经AD反射后射向C点，反射点P的位置必然满足反射定律：入射角等于反射角，入射角和反射角是相对过P点的法线(AD的垂线)而言的，反射定律也可表述为入射光和AD的夹角等于反射光和AD的夹角，这正是本题条件。因此...

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其实本题的结论可以推广到一般的梯形，只是P点的位置不一定在AD上，也可能在DA的延长线上(不妨假定CD＞AB)，对于Q点也有类似的情况；我们可以联想一下几何光学里的反射定律，如果由B点发出的光线经AD反射后射向C点，反射点P的位置必然满足反射定律：入射角等于反射角，入射角和反射角是相对过P点的法线(AD的垂线)而言的，反射定律也可表述为入射光和AD的夹角等于反射光和AD的夹角，这正是本题条件。因此，对本题的条件稍加修改即可推广到一般梯形。

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作DE交BC延长线于E使得DE=DC。作CF交AD于F使得CF=CD。（图画的烂了点）

∵CF=CD

∴∠FDC=∠DFC；∠FDC=180°-∠PFC

又AB∥DC

∴∠FDC=180°-∠PAB

则∠PAB=∠PFC

而∠APB=∠CPD（已知）

所以三角形△PAB∽△PCF

∴AP/FP=AB/FC=AB/DC=AO/OC

即AP/FP=AO/OC

故PO∥FC

同理可证得QO∥DE（这里自己证，写起来很麻烦）

则PO/FC=AO/AC；QO/DE =BO/BD

又AO/AC=BO/BD

∴PO/FC=QO/DE

而FC=DC=DE

故PO=QO

（*）

设两个圆圆心为O1、O2，AB，CD中点M，N，连MN，由梯形知O在MN上，连O1O2交MN于O’，由于O1M∥O2N，所以O'M/O'N=O1M/O2N=AB/CD=OM/ON，所以O=O’，因为O1O2垂直平分PQ（公共弦），所以O在O1O2上，所以OP=OQ，证毕

？

详解如下：（把字母位置调换即可）

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证明：
∵AB∥CD
∴BO=AO,AB=AQ
又∵∠APB=∠CPD，∠AQB=∠CQD
∴∠BPO=∠AQO
∴△AOQ≌△BPO
∴OP=OQ

我也是初中生，最近看到这题不会，你确定有旋转的方法可以解出来？我可以回去想想。还有什么可以提示吗？？？