[50分]两个高中数学竞赛题1.设f(n)=1/(根号n) n取自然数求S=f(1)+f(2)+f(3)+------+f(n)的整数部分[S]2.设A0=5,An=An-1 +1/An-1,n取自然数求证 45有想法就可以写出来有资料也可以雪浪安有一点小问题，不过思

[50分]两个高中数学竞赛题1.设f(n)=1/(根号n) n取自然数求S=f(1)+f(2)+f(3)+------+f(n)的整数部分[S]2.设A0=5,An=An-1 +1/An-1,n取自然数求证 45有想法就可以写出来有资料也可以雪浪安有一点小问题，不过思
[50分]两个高中数学竞赛题
1.设f(n)=1/(根号n) n取自然数
求S=f(1)+f(2)+f(3)+------+f(n)的整数部分[S]
2.设A0=5,An=An-1 +1/An-1,n取自然数
求证 45
有想法就可以写出来
有资料也可以
雪浪安有一点小问题，不过思路很对
还有瑕疵

[50分]两个高中数学竞赛题1.设f(n)=1/(根号n) n取自然数求S=f(1)+f(2)+f(3)+------+f(n)的整数部分[S]2.设A0=5,An=An-1 +1/An-1,n取自然数求证 45有想法就可以写出来有资料也可以雪浪安有一点小问题，不过思
第一题
由于1/√n=2/(2√n)
2/(√n+√(n-1))>2/(2√n)>2/(√n+√(n+1))
所以1+∑2/(√n+√(n-1))>s>∑2/(√n+√(n+1))
左边的n从2开始,右边的从1开始!
而∑2/(√n+√(n-1))
=∑2(√n-√(n-1))
=2∑(√n-√(n-1))=2（√n-1）
同理∑2/(√n+√(n+1))=2(√(n+1)-1)
所以2(√(n+1)-1)2n+a0^2=2n+25
所以 a1000^2>1000*2+25=2025=45^2
所以 a1000>45
an^2=(an-1+1/an-1)^2=2+(an-1)^2+1/(an-1)^2
由于an-1^2>2n+23
于是(an)^2

(1) 为方便书写,令r(n)=n^(1/2). 则r(n)为n的递增函数.
2*r(n) 1/r(n)>2*(r(n+1)-r(n));
2*r(n)>r(n)+r(n-1) ==> 1/r(n)<2*(r(n)-r(n-1));
[n=1时,特别1/r(1)<=2*(r(1)-r(0))-1]
也就是
2*(r(n+1)-...

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(1) 为方便书写,令r(n)=n^(1/2). 则r(n)为n的递增函数.
2*r(n) 1/r(n)>2*(r(n+1)-r(n));
2*r(n)>r(n)+r(n-1) ==> 1/r(n)<2*(r(n)-r(n-1));
[n=1时,特别1/r(1)<=2*(r(1)-r(0))-1]
也就是
2*(r(n+1)-r(n))<1/r(n)<2*(r(n)-r(n-1));
这个不等式从(n=)1到n求和, 得到
2*(r(n+1)-r(1))2*(n+1)^(1/2)-2另外,需要证明上面不等式的左右两边的差距小于1:即
2*r(n)-1-(2*r(n+1)-2)=2*(r(n)-r(n+1))+1<1.
这个式子显然成立, 因为r(n)-r(n+1)<0.
所以S(n)的整数部分就是2*(n+1)^(1/2)-2到2*n^(1/2)-1之间的那个唯一的整数.

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第1题学习了
第2题
an=an-1+1/an-1
得 an^2=(an-1+1/an-1)^2
an^2>2+an-1^2
an^2-an-1^2>2
所以易得左边 a1000>1000*2+25=2025=45^2
(an)^2<(an-1)^2+1/((a0)^2+2n-2)+2
=(a(n-1))^2+1/(2n+...

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第1题学习了
第2题
an=an-1+1/an-1
得 an^2=(an-1+1/an-1)^2
an^2>2+an-1^2
an^2-an-1^2>2
所以易得左边 a1000>1000*2+25=2025=45^2
(an)^2<(an-1)^2+1/((a0)^2+2n-2)+2
=(a(n-1))^2+1/(2n+23)+2
(a1000)^2<(a0)^2+(1/25+1/27...+1/2023)+2000
=2025+(1/25+1/27...+1/2023)<2025+1/25*25+1/75*75+1/225*225+1/675*675=2029<45.1^2
即得证
那就补充，先由数学归纳易证an>0

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