数学 1.一直在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为多少?拜托最好能画下图!解释的详细一点!

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 20:40:00
数学 1.一直在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为多少?拜托最好能画下图!解释的详细一点!
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数学 1.一直在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为多少?拜托最好能画下图!解释的详细一点!
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拜托最好能画下图!解释的详细一点!

数学 1.一直在半径为2的球面上有A,B,C,D四点,若AB=CD=2,则四面体ABCD的体积的最大值为多少?拜托最好能画下图!解释的详细一点!
记AC、AD、BD、BC的中点为P、Q、M、N,则PQMN为菱形,边长为1
且其面积为S=PQ×PN×sinα=sinα,α为异面直线AB和CD之间夹角.
设异面直线AB和CD的距离为H,则V(ABCD)=(2/3)×S×H=(2/3)×H×sinα.
设球心为O,AB、CD的中点为E、F,则根据题意条件OA=AB=OB=2,以及OC=CD=OD=2,可知OE=OF=√3,
若E、O、F三点不共线,H≤OE+OF=2√3
若E、O、F三点共线,OE⊥AB,OF⊥CD,即EF是异面直线AB和CD之公垂线,即H有最大值2√3
当AB⊥CD时,sinα有最大值1
所以V(ABCD)max=(4/3)√3
不好意思,我才一级,传不了图!