作业帮如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.（Ⅰ）求证：△BMD为等腰直角三角形.（思路点播：考虑M为EC中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 17:24:21
如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.（Ⅰ）求证：△BMD为等腰直角三角形.（思路点播：考虑M为EC中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD
如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.
（Ⅰ）求证：△BMD为等腰直角三角形.
（思路点播：考虑M为EC中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌
△EMD,于是ED=CN=DA,即可证明△BND也是等腰直角三角形,且BM是等腰三角形底边的中线就可以了.）请你完成证明过程；
（Ⅱ）将△ADE绕点A再逆时针旋转90°时（如图②所示位置）,△BMD为等腰直角三角形的结论是否仍然成立?若成立,请证明；若不成立,请说明理由.
如图①,已知点D在AB上,△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°,且M为EC的中点.（Ⅰ）求证：△BMD为等腰直角三角形.（思路点播：考虑M为EC中点的作用,可以延长DM交BC于N,构造△CMN≌△EMD
（I）延长DM交BC于N,∵ DE⊥AB,∴ DE//BC,∴ ∠EDM=∠CNM,又∠DME=∠CMN,
EM=MC,∴ △EDM≌△CNM,∴ DM=MN,NC=DE=AD,∴ DN//AC,M是DN中点
所以,△BMD为等腰直角三角形
（II）延长DM至O,使MO=MD,连接OC,易得：△EDM≌△COM,∴ OC=AD,∠OCB=45°
在Rt△DAB和Rt△OBC中,AB=BC,OC=AD,∴ Rt△DAB≌Rt△OBC,BD=OB,∠DBA=∠OBC
∴ ∠DBO=∠DBA+∠ABO=∠ABO+∠OBC=90°,△DBO是等腰直角三角形,M是斜边OD的中点
∴ MD=BM,MD⊥BM,即△BMD为等腰直角三角形的结论仍然成立
其他
(I)
△ABC和△ADE都是等腰直角三角形,∠ABC=∠ADE=90°
则：∠BAE+∠BAC=90°,即:EA⊥AC
M是EC中点,EM=MC,则,AM=MC=ME
∠MAE=∠MEA,亦即：∠DEM=∠DAM
又,DE=DA,AM=ME
∴ △DME≌△DAM[SAS]
∴ ∠MDE=∠MDA=（360°-90°)/2=135°,∠DME=∠DMA
∴ ∠BDM=45°=∠BAC,DM//AC
又,BM=BM,AB=BC
∴ △ABM≌△BCM[SSS],
∴ ∠DBM=∠MBC=45°
∴ DM⊥BM
即,△BMD为等腰直角三角形
(II) 在原图上证明
设旋转后的D为D1,E为E1,E1C中点M1,BM1交DM于O
ED1E1三点共线,M,M1,D1分别为EC,E1C,EE1的中点,
∴ M1D1//=EM,MM1//EE1//AB,∠M1MB=90°+45°=135°=∠EDM
MM1=EE1/2=AD=ED,DM=BM
∴ △EDM≌△BMM1
∴ ∠M1BM=∠DME=∠MD1M1,BM1=EM=D1M1
又,∠D1OM1=∠BOM
所以,∠D1MO=∠OMB=90°
所以,△BMD为等腰直角三角形的结论仍然成立.