证明3^(2n+2)-8n-9(n为正整数)能被64整除?

证明3^(2n+2)-8n-9(n为正整数)能被64整除?
证明3^(2n+2)-8n-9(n为正整数)能被64整除?

证明3^(2n+2)-8n-9(n为正整数)能被64整除?
3^(2n + 2) - 8n - 9
= 9*9^n - 8n - 9
= 9*(9^n - 1) - 8n
= 9*((8 + 1)^n - 1) - 8n ——下一步用二项式定理
= 9*((8^n + C[1]*8^{n-1} + ...+ C[n-2]*8^2 + C[n-1]*8 + 1) - 1) - 8n
其中,C[x]是二项式系数,而很容易知道C[1] = C[n-1] = n.
显然,括号内的前面所有的项都是64的倍数（有8的若干次方在）,只剩下C[n-1]*8 + 1 - 1需要考虑.将前面的所有项统统用64K表示.
3^(2n + 2) - 8n - 9
= 64K + 9*(8n) - 8n
= 64K + 64n
所以是64的倍数.
证毕.

你有没有学过二项式定理？如果学了的话，很容易。
3^2*（n+1）=9^（n+1）=（8+1）^（n+1）=9^n*9
9^n*9-9=(9^n-1)*9=((8+1)^n-1)*9
然后整合8n这一项（提取8），利用二项式定理对（8+1）^n进行展开
以后就简单了。

证明3^（2n+2）-8n-9
=9^（n+1）-8n-9
=（8+1）^（n+1）-8n-9
=8^（n+1）+Cn+1→1•8^n+…+Cn+1→n•8+1-8n-9（此处打不来用→1代表C右上角的序号1，类推）
=8^（n+1）+Cn+1→1•8^n+…+Cn+1→（n-1）•8^2
=8^2〔8^（n-...

全部展开

证明3^（2n+2）-8n-9
=9^（n+1）-8n-9
=（8+1）^（n+1）-8n-9
=8^（n+1）+Cn+1→1•8^n+…+Cn+1→n•8+1-8n-9（此处打不来用→1代表C右上角的序号1，类推）
=8^（n+1）+Cn+1→1•8^n+…+Cn+1→（n-1）•8^2
=8^2〔8^（n-1）+Cn+1→1•8^（n-2）+…+Cn+1→（n-1）〕
=64〔8^（n-1）+Cn+1→1•8^（n-2）+…+Cn+1→（n-1）〕
∵8^（n-1）+Cn+1→1•8^（n-2）+…+Cn+1→（n-1）是整数，
∴3^（2n+2）-8n-9能被64整除．

收起