已知函数y=sin²x+asinx-a²+2a+6有最大值2,求实数a的值

已知函数y=sin²x+asinx-a²+2a+6有最大值2,求实数a的值
已知函数y=sin²x+asinx-a²+2a+6有最大值2,求实数a的值

已知函数y=sin²x+asinx-a²+2a+6有最大值2,求实数a的值
令t=sinx,则|t|<=1
则y=t^2+at-a^2+2a+6=(t+a/2)^2-5a^2/4+2a+6
y为t的二次函数,开口向上,只有极小值点,因此最大值必在[-1,1]端点上
t=-1时,y(-1)=-a^2+a+7
t=1时,y(1)=-a^2+3a+7
因此a>=0, y(1)>=y(-1), 由y(1)=2,得a^2-3a-5=0,取a>=0的根为a=(3+√29)/2
a<0时,y(-1)>y(1), 由y(-1)=2,得a^2-a-5=0,取a<0的根为a=(1-√21)/2
因此a=(3+√29)/2或(1-√21)/2