作业帮与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1,证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 23:59:44
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1,证明
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1,证明
与椭圆球面有关的数学证明题,椭球面的方程ax^2+by^2+cz^2=1,证明
设(x₀,y₀,z₀)是曲面上一点,即满足ax₀²+by₀²+cz₀² = 1.
在该点处对曲面方程求全微分得:
2ax₀·dx+2by₀·dy+2cz₀·dz = 0,于是曲面在(x₀,y₀,z₀)处的线性逼近(即切平面)为:
2ax₀(x-x₀)+2by₀(y-y₀)+2cz₀(z-z₀) = 0,也即ax₀x+by₀y+cz₀z = ax₀²+by₀²+cz₀² = 1.
设(x₁,y₁,z₁),(x₂,y₂,z₂),(x₃,y₃,z₃)是曲面上三点,即有:
ax₁²+by₁²+cz₁² = 1 ①,ax₂²+by₂²+cz₂² = 1 ②,ax₃²+by₃²+cz₃² = 1 ③.
可得三点处的切平面方程分别为:
ax₁x+by₁y+cz₁z = 1 ④,ax₂x+by₂y+cz₂z = 1 ⑤,ax₃x+by₃y+cz₃z = 1 ⑥.
当三个切平面互相垂直,可知它们的法向量互相垂直,即有:
a²x₁x₂+b²y₁y₂+c²z₁z₂ = 0 ⑦,a²x₂x₃+b²y₂y₃+c²z₂z₃ = 0 ⑧,a²x₃x₁+b²y₃y₁+c²z₃z₁ = 0 ⑨.
直接变形会比较繁琐,用向量考虑会简便一些.
将三个法向量分别记为:α = (ax₁,by₁,cz₁),β = (ax₂,by₂,cz₂),γ = (ax₃,by₃,cz₃).
⑦,⑧,⑨表明α·β = β·γ = γ·α = 0.
由①,②,③可知α,β,γ都不是零向量,于是它们构成R³的一组(正交)基.
任意R³中的向量η,可唯一表示为α,β,γ的线性组合:η = rα+sβ+tγ.
由η·α = (rα+sβ+tγ)·α = rα·α+sβ·α+tγ·α = rα²,有r = η·α/α².
同理,考虑η·β及η·γ可得:s = η·β/β²,t = η·γ/γ².
于是η² = (rα+sβ+tγ)² = r²α²+s²β²+t²γ²+2rsα·β+2stβ·γ+2trγ·α
= r²α²+s²β²+t²γ² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ².
得到对任意向量η成立的恒等式:η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² ⑩.
设三个切平面的交点为(k,m,n),即x = k,y = m,z = n是④,⑤,⑥的解.
取向量η = (k,m,n),由④,⑤,⑥可知,η·α = η·β = η·γ = 1.
代入⑩得k²+m²+n² = η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² = 1/α²+1/β²+1/γ².
将①,②,③代入得:k²+m²+n² = (ax₁²+by₁²+cz₁²)/α²+(ax₂²+by₂²+cz₂²)/β²+(ax₃²+by₃²+cz₃²)/γ²
= a(x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ²)+b(y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²)+c(z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ²) (*).
取η = (1/a,0,0),有η·α = x₁,η·β = x₂,η·γ = x₃.
代入⑩得1/a² = η² = (η·α)²/α²+(η·β)²/β²+(η·γ)²/γ² = x₁²/α²+x₂²/β²+x₃²/γ².
同理,取η = (0,1/b,0)及(0,0,1/c)可得:1/b² = y₁²/α²+y₂²/β²+y₃²/γ²,1/c² = z₁²/α²+z₂²/β²+z₃²/γ².
将此三式代回(*)即得:k²+m²+n² = a·1/a²+b·1/b²+c·1/c² = 1/a+1/b+1/c.
即三个互相垂直的切平面的交点在球面x²+y²+z² = 1/a+1/b+1/c上,证毕.