在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的平行线交直线PQ于点F,点P在BC边上时,求证:BE+CF=√2PC.如图

来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 06:22:29
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的平行线交直线PQ于点F,点P在BC边上时,求证:BE+CF=√2PC.如图
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在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的平行线交直线PQ于点F,点P在BC边上时,求证:BE+CF=√2PC.如图
在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的平行线交直线PQ于点F,点P在BC边上时,求证:BE+CF=√2PC.
如图

在△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点P是直线BC上一点,∠APQ=45°,PQ交直线AB于点E,过点C作AB的平行线交直线PQ于点F,点P在BC边上时,求证:BE+CF=√2PC.如图
证明:在Rt△ABC中,
由AB=AC,可得∠B=∠ACP=45°,且AB=AC= BC/√2
又,∠APC是△ABP的外角,
∴∠APC = ∠BAP + ∠B (三角形外角度数为不相邻的两内角之和)
同理可得,∠BQP = ∠BAP + ∠APQ
而,∠APQ=∠B=45°
∴∠APC=∠BQP
又,CF//AB
∴∠PFC=∠BQP (内错角相等)
所以有,∠APC = ∠PFC
又由CF//AB,可得 ∠PCF = ∠B = 45°
则有,∠PCF = ∠ACP
∴△APC∽△PFC (两角对应相等,两三角形相似)
∴CF:PC = PC:AC
把 AC= BC/√2代入上式,化简得
BC*CF/PC = (√2)*PC…………………………………………………………(*)
又CF//BE,易证△PCF∽△PBQ
∴BE:CF = PB:PC
根据比例的性质,有
(BE+CF):CF = (PB+PC):PC
即,(BE+CF):CF = BC:PC
∴ BE + CF = BC*CF/PC
结合(*)式,得
BE + CF = (√2)*PC
(证毕)