作业帮正多边形中心公式证明
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 18:44:50
正多边形中心公式证明
正多边形中心公式证明
正多边形中心公式证明
设中心为O。。
首先证明向量OA1+OA2+...+OAn=0
为了方便证明，把正n边形放到xoy平面内，O点放到坐标原点。OA1方向为x轴的正向。
由于正n边形都内接于圆，所以|OA1|=|OA2|=..=|OAn|，且相邻两向量的夹角为2π/n
设|OA1|=|OA2|=..=|OAn|=R
所以向量OAk=(Rcos[2π(k-1)/n], Rsin[...
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设中心为O。。
首先证明向量OA1+OA2+...+OAn=0
为了方便证明，把正n边形放到xoy平面内，O点放到坐标原点。OA1方向为x轴的正向。
由于正n边形都内接于圆，所以|OA1|=|OA2|=..=|OAn|，且相邻两向量的夹角为2π/n
设|OA1|=|OA2|=..=|OAn|=R
所以向量OAk=(Rcos[2π(k-1)/n], Rsin[2π(k-1)/n]) ，其中k=1,2,...n
根据欧拉定理，
Rcos[2π(k-1)/n]+i Rsin[2π(k-1)/n]=Re^[i 2π(k-1)/n]
因为
∑{Rcos[2π(k-1)/n]+i Rsin[2π(k-1)/n]}=∑{Rcos[2π(k-1)/n]} +i ∑{Rsin[2π(k-1)/n]}
=∑{Re^[i 2π(k-1)/n]}
=R{[1-e^((2π/n)*n)] /[1-e^(2π/n)]
=0
（∑{Re^[i 2π(k-1)/n]}求和用的是等比数列公式，公比是e^(2π/n)）
所以∑{Rcos[2π(k-1)/n]}=0
∑{Rsin[2π(k-1)/n]}=0
所以∑OAk=OA1+OA2+...+OAn=0
所以把正n变形放到任何坐标系中，仍然满足 OA1+OA2+...+OAn=0。。
设O(x0,y0,z0)
那么OAk=(xk-x0,yk-y0,zk-z0), 其中k=1,2,3...n
因为OA1+OA2+...+OAn=0
所以∑(xk-x0,yk-y0,zk-z0)=(x1+x2+...+xn-nx0, y1+y2+...+yn-ny0, z1+z2+...+zn-nz0)=(0 ,0,0)
所以
x1+x2+...+xn-nx0=0
y1+y2+...+yn-ny0=0
z1+z2+...+zn-nz0=0
得到
x0=(x1+x2+...+xn)/n
y0=(y1+y2+...+yn)/n
z0=(z1+z2+...+zn)/n
收起