求点到曲线的对称轴的距离设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的倾斜角取值范围为[0,π/4],则p到曲线y=f(x0)对称轴距离的取值范围为——.
来源:学生作业帮助网 编辑:作业帮 时间:2024/11/15 23:22:16
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求点到曲线的对称轴的距离设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的倾斜角取值范围为[0,π/4],则p到曲线y=f(x0)对称轴距离的取值范围为——.
求点到曲线的对称轴的距离
设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的倾斜角取值范围为[0,π/4],则p到曲线y=f(x0)对称轴距离的取值范围为——.
求点到曲线的对称轴的距离设a>0,f(x)=ax²+bx+c,曲线y=f(x)在点p(x0,f(x0))处切线的倾斜角取值范围为[0,π/4],则p到曲线y=f(x0)对称轴距离的取值范围为——.
f(x)=ax²+bx+c
则,f'(x)=2ax+b
那么,在P(xo,f(xo))处切线的斜率就是k=f'(xo)=2axo+b
已知切线的倾斜角是[0,π/4]
所以,k=tanα∈[0,1]
所以,2axo+b∈[0,1]
===> 0≤2axo+b≤1
===> 0≤xo+(b/2a)≤1/(2a)
那么,点P到对称轴x=-b/2a的距离就是|xo-(-b/2a)|=|xo+(b/2a)|∈[0,1/(2a)].
f(x)的对称轴在 -b/2a,对f(x)求导可得其在x0点处的斜率k=2a*x0+b。因为倾角θ取值在[0,π/4],所以0≤k=tanθ≤1,可解出-b/2a≤x0≤(1-b)/2a,与对称轴相比较得0≤x0-(-b/2a)≤1/2a,所以取值范围在[0,1/2a]。