曲面积分!求抛物面壳z=（x²+y²）/2（0≦z≦1）的质量,此壳的面密度为u=z!

曲面积分!求抛物面壳z=（x²+y²）/2（0≦z≦1）的质量,此壳的面密度为u=z!
曲面积分!
求抛物面壳z=（x²+y²）/2（0≦z≦1）的质量,此壳的面密度为u=z!

曲面积分!求抛物面壳z=（x²+y²）/2（0≦z≦1）的质量,此壳的面密度为u=z!
抛物面满足z'x=x,z'y=y
dS=√[1+(z'x)^2+(z'y)^2] dxdy=√(1+x^2+y^2) dxdy
质量
m=∫∫udS=∫∫zdS=(1/2)∫∫(x^2+y^2)√(1+x^2+y^2) dxdy
=(1/2)∫∫r^2√(1+r^2) rdrdθ
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->√2) r^2√(1+r^2)d(r^2)
=(1/4)∫(0->2π)dθ ∫(0->2) t√(1+t)dt
=(50√5+2)π/15
那个∫(0->2) t√(1+t)dt,换元,令t=(tanu)^2即可.