作业帮设函数f(x)=-a乘以根号下（x^2+a）+x+a,x属于(0,1],a>0 若FX在（0,1）上是增函数,A的取值和FX的最大值负a乘以根号下（x^2+a）是一个整体.后面的不上一起的
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/05 02:09:02
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设函数f(x)=-a乘以根号下（x^2+a）+x+a,x属于(0,1],a>0 若FX在（0,1）上是增函数,A的取值和FX的最大值负a乘以根号下（x^2+a）是一个整体.后面的不上一起的
设函数f(x)=-a乘以根号下（x^2+a）+x+a,x属于(0,1],a>0 若FX在（0,1）上是增函数,A的取值和FX的最大值
负a乘以根号下（x^2+a）是一个整体.后面的不上一起的
设函数f(x)=-a乘以根号下（x^2+a）+x+a,x属于(0,1],a>0 若FX在（0,1）上是增函数,A的取值和FX的最大值负a乘以根号下（x^2+a）是一个整体.后面的不上一起的
f(x)=-a*√(x²+a)+x+a,x∈(0,1],a>0
f(x)在x∈(0,1]是增函数,求a的取值和f(x)的最大值
对x求导,得
f'(x)
=-a*(2x)/√(x²+a)+1
=-2ax/√(x²+a)+1
=-2a/√[1+a/x²]+1
由题意,知
x∈(0,1]时,f'(x)恒为正
x²∈(0,1]
∵a>0
∴1+a/x²∈[a+1,+∞)
∴a/√[1+a/x²]∈(0,a/√(1+a)]
∴f'(x)∈[1-2a/√(1+a),1)
∴1-2a/√(1+a)≥0
∴2a≤√(1+a)
4a²-a-1≤0
∴a∈(0,(1+√17)/8]
f(x)在x∈(0,1)都是增函数,定义域是(0,1]
∴f(x)在f(1)处取得最大值
f(1)=-a*√(1+a)+1+a
令√(1+a)=t,则a=t²-1,t∈(1,(1+√17)/4]
则f(1)=-(t²-1)t+t²=-t(t²-t-1)
f(1)=-t³+t²+t
f'(1)=-3t²+2t+1=(3t+1)(-t+1)
∴在t∈(1,(1+√17)/4]范围内,f'(1)恒小于0,即f(1)在此范围递减
∴f(1)在t=1处取得最大值,即最大值为1