作业帮四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 12:48:06
四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的
并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,其中AB=3,PA=4,若在线段PD上存在点E使得BE⊥CE,求线段AD的并求当线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE时,二面角E-BC-A的正切值的大小.
1.建坐标系与图形,如图.
设A为原点,AD长度为a,E坐标为(0,ey,ez).
B(3,0,0),C(3,a,0),D(0,a,0)
求得直线PD方程为:Z=-(4y/a)+4.
得E坐标为（0,ey,-(4ey/a)+4）
因为BE⊥CE,所以
向量EB 点乘 向量EC = 0
((3,0,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))点乘((3,a,0)-(0,ey,-(4ey/a)+4))=0
(3,-ey,(4ey/a)-4)点乘(3,a-ey,(4ey/a)-4)=0
得
[(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0
使上式中ey有解,必须
[a+(32/a)]²-4*[(16/a²)+1]*25≥0
得
(a²-18)≥30²
a²≥48
得
a≥4√3
2.由线段PD上有且只有一个点E使得BE⊥CE
得
a=4√3
由
[(16/a²)+1]ey²-[a+(32/a)]ey+25=0
得
ey=(5/2) √3
得所有点坐标：
A(0,0,0),B(3,0,0),C(3,4√3,0),D(0,4√3,0),E(0,(5/2) √3,3/2).
在线段PA上取一点F,连接FE,使FE平行于AD
则可以算出F(0,0,3/2)
又AD平行于BC
得FE平行于BC
F在EBC平面中
又AB⊥PA
所以二面角E-BC-A的正切值=tan(∠FBA)=FA/AB=1.5/3=0.5
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