证明如果四边形的两条对角线垂直且相等那么顺次连接它的四边中点得到的四边形是正方形

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 05:46:28
证明如果四边形的两条对角线垂直且相等那么顺次连接它的四边中点得到的四边形是正方形
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证明如果四边形的两条对角线垂直且相等那么顺次连接它的四边中点得到的四边形是正方形
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证明如果四边形的两条对角线垂直且相等那么顺次连接它的四边中点得到的四边形是正方形

证明：

设四边形ABCD,对角线AC=BD,AC⊥BD,E,F,G,H分别为AD,AB,BC,CD的中点

∵E是AD的中点,F是AB的中点

∴EF是△ABD的中位线

∴EF=½BD,EF//BD

同理：

HG是△BCD的中位线,HG=½BD,HG//BD

EH是△ACD的中位线,EH=½AC,EH//AC

FG是△ABC的中位线,FG=½AC,FG//AC

∴EF=HG=½AC,EH=FG=½BD

∵AC=BD

∴EF=HG=EH=FG

∴四边形EFGH是菱形（四条边相等的四边形是菱形）

∵AC⊥BD,EF//BD

∴AC⊥EF

∵EH//AC

∴EF⊥EH

∴四边形EFGH是正方形（有一个角是直角的菱形是正方形）

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