作业帮已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为_______同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为_______
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/06 13:54:28
已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为_______同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为_______
已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______
同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为_______
同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为_______
已知同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解,则其解数为______同余方程x^2 ≡ a(mod2^2005)有解，则其解数为_______同余方程x^2 ≡ a(mod3^2008)有解，则其解数为_______
a≡0时,两个方程都有解,x≡0(mod2) x≡0(mod3)
称为平凡解.下面讨论非平凡
一般情况：f(x)≡0（mod p^n)有解,则f(x)≡0（mod p)有解
f(x)≡0（mod p)无解,则f(x)≡0（mod p^n)无解
对本题,令 f(x)=x^2-a
f '(x)=2x
x^2 ≡ a(mod2^2005)
(a,2)=1,a≡1(mod 2)
x^2≡1 (mod 2) 有解x≡1(mod 2)
f (1)≡0(mod 2),f '(1)≠0(mod 2)
故 x^2 ≡ a(mod2^2005)的解的个数与x^2 ≡ a(mod2)的解的个数相同,
所以,有一个非平凡解解.
同理：a≡1(mod 3)
x^2≡1 (mod 3) 有解x≡1(mod 3) x≡2(mod 3) 两个解
f(1)≡0(mod 3) f(2)≡0(mod 3)
f '(1)≠0(mod 3) f '(2)≠0(mod 3)
有两个解,所以x^2 ≡ a(mod3^2008)有两个非平凡解解.
a≡2（mod 3) 无解.