作业帮【急】高阶导数问题看图...
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 21:30:45
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【急】高阶导数问题看图...
【急】高阶导数问题
看图...
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证明：∵f(x)=arcsinx
∴f'(x)=1/√(1-x²)
==>f'(x)√(1-x²)=1
==>[f'(x)]²(1-x²)=1 (对上式两端平方)
==>(1-x²)f''(x)-xf'(x)=0 (对上式两端求导,并整理得)
对上式两端求n次导数,并应用莱布尼茨公式
得(1-x²)f(n+2)(x)-2nxf(n+1)(x)-2*[n(n-1)/2]f(n)(x)-xf(n+1)(x)-nf(n)(x)=0
整理得(1-x²)f(n+2)(x)-(2n+1)xf(n+1)(x)-n²f(n)(x)=0.证毕.