第17届“希望杯” 全国数学邀请赛试题初一第二试的全部答案及详细解析

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第十七届“希望杯”全国数学邀请赛初一第2试
2006年4月16日 上午10∶30至10∶30
班级__________学号__________姓名______________得分______________
一、选择题（每小题4分,共40分）
1．a和b是满足ab≠0的有理数,现有四个命题：①的相反数是；②a－b的相反数是a的相反数与b的相反数的差；③ab的相反数是a的相反数和b的相反数的乘积；④ab的倒数是a的倒数和b的倒数的乘积．其中真命题有（ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
2．在下面的图形中,不是正方体的平面展开图的是（ ）
（A） （B） （C） （D）
3．在代数式xy2中,x与y的值各减少25%,则该代数式的值减少了（ ）
（A）50% （B）75% （C） （D）
4．若a＜b＜0＜c＜a,则以下结论中,正确的是（ ）
（A）a＋b＋c＋d一定是正数 （B）d＋c－a－b可能是负数
（C）d－c－b－a一定是正数 （D）c－d－b－a一定是正数
5．在图1中,DA＝DB＝DC,则x的值是（ ）
（A）10 （B）20 （C）30 （D）40
6．已知a,b,c都是整数,m＝｜a＋b｜＋｜b－c｜＋｜a－c｜,那么（ ）
（A）m一定是奇数 （B）m一定是偶数
（C）仅当a,b,c同奇偶时,m是偶数 （D）m的奇偶性不能确定
7．三角形三边的长a,b,c都是整数,且[a,b,c]＝60,（a,b）＝4,（b,c）＝3．（注：[a,b,c]表示a,b,c的最小公倍数,（a,b）表示a,b的最大公约数）,则a＋b＋c的最小值是（ ）
（A）30 （B）31 （C）32 （D）33
8．如图2,矩形ABCD由3×4个小正方形组成．此图中,不是正方形的矩形有（ ）
（A）40个 （B）38个 （C）36个 （D）34个
9．设[a]是有理数,用[a]表示不超过a的最大整数,如[1.7]＝1,[－1]＝－1,[0]＝0,[－1.2]＝－2,则在以下四个结论中,正确的是（ ）
（A）[a]＋[－a]＝0 （B）[a]＋[－a]等于0或－1
（C）[a]＋[－a]≠0 （D）[a]＋[－a]等于0或1
10．On the number axis,there are two points A and B corresponding to numbers 7 and b respectively,and the distance between A and B is less than 10．Let m＝5－2b,then the range of the value of m is（ ）
（A）－1＜m＜39 （B）－39＜m＜1 （C）－29＜m＜11 （D）－11＜m＜29
（英汉字典：number axis 数轴；point 点；corresponding to 对应于…；respectively 分别地；distance 距离；less than 小于；value 值；range 范围）
二、填空题（每小题4分,共40分）
11．1－2＋3－4＋5－6＋7－8＋9＝_______．
12．若m＋n－p＝0,则的值等于______．
13．图3是一个小区的街道图,A、B、C、…X、Y、Z是道路交叉的17个路口,站在任一路口都可以沿直线看到这个路口的所有街道．现要使岗哨们能看到小区的所有街道,那么,最少要设__________个岗哨．
14．如果m－＝－3,那么m3－＝____________．
15．＝__________．
16．乒乓球比赛结束后,将若干个乒乓球发给优胜者．取其中的一半加半个发给第一名；取余下的一半加半个发给第二名；又取余下的一半加半个发给第三名；再取余下的一半加半个发给第四名；最后取余下的一半加半个发给第五名,乒乓球正好全部发完．这些乒乓球共有______个．
17．有甲、乙、丙、丁四人,每三个人的平均年龄加上余下一人的年龄之和分别为29,23,21和17岁,则这四人中最大年龄与最小年龄的差是__________岁．
18．初一（2）班的同学站成一排,他们先自左向右从“1”开始报数,然后又自右向左从“1”开始报数,结果发现两次报数时,报“20”的两名同学之间（包括这两名同学）恰有15人,则全班同学共有________人．
19．2m＋2006＋2m（m是正整数）的末位数字是__________．
20．Assume that a,b,c,d are all integers,and four equations (a－2b)x＝1,(b－3c)y＝1,(c－4d)z＝1,w＋100＝d have always solutions x,y,z,w of positive numbers respectively,then the minimum of a is ____________．
（英汉词典：to assume 假设；integer 整数；equation 方程；solution（方程的）解；positive 正的；respectively 分别地；minimum 最小值）
三、解答题（本大题共3小题,第21题10分,第22、23题15分共40分）要求：写出推算过程．
21．（1）证明：奇数的平方被8除余1．
（2）请你进一步证明：2006不能表示为10个奇数的平方之和．
22．如图4所示,三角形ABC的面积为1,E是AC的中点,O是BE的中点．连结AO并延长交BC于D,连结CO并延长交AB于F．求四边形BDOF的面积．
23．老师带着两名学生到离学校33千米远的博物馆参观．老师乘一辆摩托车,速度25千米／小时．这辆摩托车后座可带乘一名学生,带人后速度为20千米／小时．学生步行的速度为5千米／小时．请你设计一种方案,使师生三人同时出发后都到达博物馆的时间不超过3小时．
第十七届“希望杯”全国数学邀请赛
初一 第2试 参考答案
一、选择题
1、C ,提示：①②④正确,③错误.
2、C ,提示：正方体的平面展开图中一个顶点能连出4个正方形.
3、C ,提示：
4、C ,提示：（A）不确定,A错；
（B）,B错；
（C）,C 对；
（D）不确定,D错.
5、A ,提示：如图,
,
,
.
6、B ,提示：因为中如果有出现,则都是以它们的偶数倍形式出现的.
7、B ,提示：,则,则,又,则
.
8、A ,提示：共有矩形60个,共有是正方形的有20个.
9、D ,提示：当时,当时,.
10、C ,提示：,即.
二、填空题
11、,
12、,
13、4 ,提示：如图四点：D、N、Y、F
14、,提示：
15、4026042；提示：
16、31；提示：设这些乒乓球有个,则发给第一名：个；
发给第二名：个,
发给第三名：个,发给第四名：个,发给第五名：个.
则,.
17、18 ；提示：设甲,乙,丙,丁四人的年龄为,则
①
②
③
④
①+②+③+④ 得⑤,将⑤分别代入①,②,③,④,求得
,.
18、53 ,提示：,.
19、0 ,提示：的末位数字是2 ,的末位数字 是4 , 的末位数字是5,故是0 .
20、2433, 提示： ,又为整数,
,
三、21、（1）证明：设奇数为,则；
（i）当为奇数时,能被8整除,故被8除余1；
（ii）当为偶数时,能被8整除,故被8除余1.
故奇数的平方被8除余1.
（2）证明：,10个奇数的平方和为：,
故2006不能表示为10个奇数的平方之和.
22、如图,为中点,为中点,
,
设,
,即,.
, 即 ,
.
23、让一A 同学先步行,老师乘摩托车带B 同学行驶小时后,让B同学步行至博物馆,老师返回接A同学,并带他到博物馆,则有；
当时,
,能到,
故,让A同学先行,老师乘摩托车带B同学行驶1.2 小时,也就是24千米后,让B步行至博物馆,老师返回接A 同学,这样,3小时后,三人同时到达博物馆.

题：http://www.zhongkao.cn/Article_D/2007-02/877771529366875.htm
答案：http://www.zhongkao.cn/Article_D/2007-03/783278679772781.htm
http://www.zhongkao.cn/Article_D/2006-04/916558972985561.htm

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