作业帮求证：(cosβ/（1+sinβ）)-(sinβ/（1+cosβ）)=（2cosβ-2sinβ）/（1+sinβ+cosβ）
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:04:02
求证：(cosβ/（1+sinβ）)-(sinβ/（1+cosβ）)=（2cosβ-2sinβ）/（1+sinβ+cosβ）
求证：(cosβ/（1+sinβ）)-(sinβ/（1+cosβ）)=（2cosβ-2sinβ）/（1+sinβ+cosβ）
求证：(cosβ/（1+sinβ）)-(sinβ/（1+cosβ）)=（2cosβ-2sinβ）/（1+sinβ+cosβ）
证明：
方法一:
(利用二倍角公式)
易得：
cosα/(1+sinα)
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)]^2}/(sin(α/2)+cos(α/2))^2
=[cos(α/2)-sin(α/2)]/(sin(α/2)+cos(α/2))
sinα/(1+cosα)
=[2sin(α/2)*cos(α/2)]/[1+2cos^2(α/2)-1]
=sin(α/2)/cos(α/2)
∴
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=[cos(α/2)-sin(α/2))]/[sin(α/2)+cos(α/2)]-sin(α/2)/cos(α/2)
={[cos(α/2)]^2-sin(α/2)*cos(α/2)-[sin(α/2)-]^2-sin(α/2)*cos(α/2)}/{sin(α/2)*cos(α/2)+[cos(α/2)]^2}
={[cos(α/2)]^2-[sin(α/2)-]^2-2sin(α/2)*cos(α/2)}/{2sin(α/2)*cos(α/2)/2+{2[cos(α/2)]^2-1+1}/2}
=(cosα-sinα)/[sinα/2+(1+cosα)/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法二：
易得：
(1+sinα+cosα)^2
=1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα
=2(1+sinα)*(1+cosα)
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
由前面得：
(1+sinα)*(1+cosα)=(1+sinα+cosα)^2/2
∴左边=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/[(1+sinα+cosα)^2/2]
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
方法三：
左边=[cosα+(cosα)^2-sinα-(sinα)^2]/(1+sinα)(1+cosα)
=[(cosα-sinα)(sinα+cosα+1)]/(1+sinα)(1+cosα)
左边/右边
=(1+sinα+cosα)^2/2(1+sinα)(1+cosα)
=(1+2sinα+2cosα+sinα^2+cosα^2+2sinα*cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=2(1+sinα)(1+cosα)/2(1+sinα)(1+cosα)
=1
即证!
方法四：
(利用等比性质)
∵ cosα/(1+sinα)=(1-sinα)/cosα
利用等比性质
∴ cosα/(1+sinα)=(1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα) ----(1)
同理：
∵ sinα/(1+cosα)=(1-cosα)/sinα
∴ sinα/(1+cosα)=(1+sinα-cosα)/(1+sinα+cosα) ----(2)
(1)-(2)得
cosα/(1+sinα)-sinα/(1+cosα)
=(1-sinα+cosα-1-sinα+cosα)/(1+sinα+cosα)
=(2cosα-2sinα)/(1+sinα+cosα)
=2(cosα-sinα)/(1+sinα+cosα)
晕，左边一通分，分子化简，然后交叉相乘，合并就行，很简单啊...仔细点，其中注意不要展开括号，带着算
这个不能证明，不信你代角贝塔为三十度，不为恒等式