k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116．（1）若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质；（2）当a,b互质时,求k的

k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116．（1）若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质；（2）当a,b互质时,求k的
k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明
k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116．
（1）若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质；
（2）当a,b互质时,求k的值．
（3）若a,b的最大公约数为5,求k的值．
（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数,
则a2-b2=su,a2=sv,u,v是正整数,
∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u）,可见s是b2的约数,
∵a,b互质,
∴a2,b2互质,可见s=1．
即a2-b2与a2互质,同理可证a2-b2与b2互质；
（2）由题知：ma2=（m+116）b2,
m（a2-b2）=116b2,
∴（a2-b2）|116b2,
∵（a2-b2,b2）=（a2,b2）=1,
∵（a2-b2）|116,
所以a2-b2是116的约数,116=2×2×29,
a2-b2=（a-b）（a+b）,
而a-b和a+b同奇偶性,且a,b互质,
∴a2-b2要么是4的倍数,要么是一个大于3的奇数,
∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116,
∴a-b=1,a+b=29或a-b=1,a+b=116或a-b=2,a+b=58或a-b=4,a+b=29,
解得只有一组解符合条件,
a=15,b=14,
∴m（152-142）=116×142,
∴m=4×142=784,
∴k=784×152=176400；
（3）设a=5x,b=5y,（x,y）=1,
则m（a2-b2）=116b2,
∴即m（25x2-25y2）=116（25y）2,
∴m（x2-y2）=116（y）2,
∵x,y互质,则有：m=24×72,
∴x=15,y=14,
a=75,b=70,m=784,
k=784×752=4410000．
14、15行不懂
27行不懂

k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116． （1）若a,b互质,证明k、a、b为正整数,k被a2、b2整除所得的商分别为m,m+116．（1）若a,b互质,证明a2-b2与a2、b2都互质；（2）当a,b互质时,求k的
m（a2-b2）=116b2
显然a2-b2不整除b2 a2-b2只能整除116及他的约数 116有约数6个1 2 4 29 58 116
a2-b2=（a-b）（a+b）
据a-b a+b同奇同偶,58只能拆成1奇1偶,不符合,1 2 4易判断也不存在正解,剩下29 116
29=1*29 故a+b=29 a-b=1 a=15 b=14
116=（a-b）（a+b） 116只能拆成2个偶数和1奇1偶,2个偶数只能把2个2分到不同约数
116=2*58 a+b=58 a-b=2 a=30 b=28 这组ab不互质
所以a=15 b=14
∵x,y互质,则有：m=24×72,
把则有：m=24×72,删掉 可能不知道谁弄错了

1

（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数，
则a2-b2=su，a2=sv，u，v是正整数，
∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u），可见s是b2的约数，
∵a，b互质，
∴a2，b2互质，可见s=1．
即a2-b2与a2互质，同理可证a2-b2与b2互质；
（2）由题知：ma2=（m+116）b2，
m（a2-b2）=116b2，

全部展开

（1）设s为a2-b2与a2的最大公约数，
则a2-b2=su，a2=sv，u，v是正整数，
∴a2-（a2-b2）=b2=s（v-u），可见s是b2的约数，
∵a，b互质，
∴a2，b2互质，可见s=1．
即a2-b2与a2互质，同理可证a2-b2与b2互质；
（2）由题知：ma2=（m+116）b2，
m（a2-b2）=116b2，
∴（a2-b2）|116b2，
∵（a2-b2，b2）=（a2，b2）=1，
∵（a2-b2）|116，
所以a2-b2是116的约数，116=2×2×29，
a2-b2=（a-b）（a+b），
而a-b和a+b同奇偶性，且a，b互质，
∴a2-b2要么是4的倍数，要么是一个大于3的奇数，
∴（a-b）（a+b）=29 或（a-b）（a+b）=116，
∴a-b=1，a+b=29或a-b=1，a+b=116或a-b=2，a+b=58或a-b=4，a+b=29，
解得只有一组解符合条件，
a=15，b=14，
∴m（152-142）=116×142，
∴m=4×142=784，
∴k=784×152=176400；
（3）设a=5x，b=5y，即x，y的最大公约数为1，
则m（a2-b2）=116b2，
∴即m（25x2-25y2）=116（25y）2，
∴m（x2-y2）=116（y）2，
∵x，y互质，则有：m=24×72，
∴x=15，y=14，
a=75，b=70，m=784，
k=784×752=4410000．

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