一道数学联赛试题2004年的初中数学联赛试题第二试第一题已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 00:00:51
一道数学联赛试题2004年的初中数学联赛试题第二试第一题已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值
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一道数学联赛试题2004年的初中数学联赛试题第二试第一题已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值
一道数学联赛试题
2004年的初中数学联赛试题第二试第一题
已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值

一道数学联赛试题2004年的初中数学联赛试题第二试第一题已知方程x2-6x-4n2-32n=0的根都是整数,求整数n的值
这个问题早就有人问过,也有了通行版的答案.
不过那个答案是有所疏忽的,我作了一些修正.修正后的正确答案如下
x^2-6x-4n^2-32n=0
△=36+4(4n^2+32n)
=4(4n^2+32n+9)
=4[4(n^2+8n+16)-55]
=4[4(n+4)^2-55]
4(n+4)^2-55是完全平方数,△能够开出整数
设A=2(n+4),4(n+4)^2-55是B的完全平方数
A^2-55=B^2
A^2-B^2=55
(A+B)(A-B)=55=5*11=(-5)*(-11)=1*55=(-1)*(-55)
则
A+B=11,A-B=5 或 A+B=5,A-B=11
或 A+B=(-11),A-B=(-5) 或 A+B=(-5),A-B=(-11)
或 A+B=55,A-B=1 或 A+B=1,A-B=55
或 A+B=(-55),A-B=(-1) 或 A+B=(-1),A-B=(-55)
分别解上述8个方程组,得到
或A=8或A=-8或A=28或A=-28；B=3或B=-3或B=27或B=-27
代回A的4个值,得到
n1=-18 n2=-8 n3=0 n4=10

好像却已知

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