作业帮若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1(1)求证:f(x)大于零,(2)求证f(x)为减函数(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)乘f(5)小于或等于1/4
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 01:31:06
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1(1)求证:f(x)大于零,(2)求证f(x)为减函数(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)乘f(5)小于或等于1/4
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1
(1)求证:f(x)大于零,(2)求证f(x)为减函数
(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)乘f(5)小于或等于1/4
若非零函数f(x)对任意实数a,b均有f(a+b)=f(a)乘f(b),且当x大于零时,f(x)大于1(1)求证:f(x)大于零,(2)求证f(x)为减函数(3)当f(4)=1/16时,解不等式f(x-3)乘f(5)小于或等于1/4
方法1(1)由f(a+b)=f(a).f(b),得f(2a)=[f(a)]^2,令x=2a,则f(x)>=0.
又f(x)是非零函数,所以f(x)>0
(2)f(x+a)=f(x)f(a),f(x)=f(x+a)/f(a)
当xf(a),所以,f(x)为减函数.
(3)f(x-3).f(5-x^2)=f(x-3+5-x^2)=f(-x^2+x+2)
原不等式化为：f(-x^2+x+2)≤1/4,两边平方,[f(-x^2+x+2)]^2≤1/16
f[2(-x^2+x+2)]≤1/16
因f(x)为减函数,f(4)=1/16,则有2(-x^2+x+2)>=4,-x^2+x>=0
解得：0≤x≤1
方法2.因为f(a+b)=f(a)f(b),令式中a=b=0得：f(0)=f(0)*f(0),因f(0)不等于0,所以等式两同时消去f(0),得：f(0)=1.
2.令f(a+b)=f(a)f(b)中a=b=x/2,于是f(x)=f(0.5x)*f(0.5x)＝（f(0.5x)）^2>=0.因为是非零函数,所以对于任意x都有f(x)不等于0,所以f（x)>0.
3.设x10,所以f(x1)/f(x2)=f(x1+x2-x2)/f(x2)=(f(x1-x2)*f(x2))/f(x2),分子分母同时约去f(x2）,得：f(x1)/f(x2)=f(x1-x2),因为x11,所以f(x)是R上的减函数.
参考资料：超哥