作业帮已知an=2n-1,数列｛bn｝满足：b1/2+b2/2^2+...+bn/2^n=an,求数列{bn}的前n项和Sn
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/03 02:16:55
已知an=2n-1,数列｛bn｝满足：b1/2+b2/2^2+...+bn/2^n=an,求数列{bn}的前n项和Sn
已知an=2n-1,数列｛bn｝满足：b1/2+b2/2^2+...+bn/2^n=an,求数列{bn}的前n项和Sn
已知an=2n-1,数列｛bn｝满足：b1/2+b2/2^2+...+bn/2^n=an,求数列{bn}的前n项和Sn
n=1时,b1/2=a1=2×1-1=1
b1=2
n≥2时,
b1/2+b2/2²+...+bn/2ⁿ=an=2n-1 (1)
b1/2+b2/2²+...+b(n-1)/2^(n-1)=a(n-1)=2(n-1)-1=2n-3 (2)
(1)-(2)
bn/2ⁿ=2
bn=2^(n+1)
n=1时,b1=2²=4≠2,数列{bn}的通项公式为
bn=2 n=1
2^(n+1) n≥2
n=1时,S1=b1=2
n≥2时,
Sn=b1+b2+...+bn
=2+2³+...+2^(n+1)
=2+2²+...+2^(n+1) -4
=2×[2^(n+1) -1]/(2-1) -4
=2^(n+2) -6
n=1时,S1=2³-6=8-6=2,同样满足.
综上,得Sn=2^(n+2) -6
an=b1/2+……+bn/2^n
a(n-1)=b1/2+……+b(n-1)/2^(n-1)
∴an-a(n-1)=bn/2^n
∵an=2n-1 ∴a(n-1)=2n-3 ∴bn/2^n=2n-3 ∴bn=2^n(2n-3)
∴Sn=-1+4+……+2^n(2n-3)
（1）
an=2n-1
则a(n-1)=2n-3
相减得an-a(n-1)=2
当n≥2时：
an=b1/2+b2/2^2+……+bn/2^n
a(n-1)=b1/2+b2/2^2+……+b(n-1)/2^(n-1)
相减得
an-a(n-1)=bn/2^n
即bn=2^(n+1)
当n=1...
全部展开
（1）
an=2n-1
则a(n-1)=2n-3
相减得an-a(n-1)=2
当n≥2时：
an=b1/2+b2/2^2+……+bn/2^n
a(n-1)=b1/2+b2/2^2+……+b(n-1)/2^(n-1)
相减得
an-a(n-1)=bn/2^n
即bn=2^(n+1)
当n=1时， a1=b1/2
得 b1=2a1=2
故
｛ 2 （n=1）
bn=
｛2^(n+1) （n≥2）
（2）
当n=1时， S1=b1=2
当n≥2时：
Sn=a1+a2[1-q^(n-1)]/(1-q)
=2+2³x[1-2^(n-1)]/(1-2）
=2^(n+2)-6
n=1时，S1=2³-6=8-6=2，满足。
所以 Sn=2^(n+2) -6
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