作业帮平面向量证明题如图,过圆外一点P作两条割线交于点A、B、C、D,AC、BD延长线交于点E,AD、BC交于点F,连接EF交该圆,再连接PM.求证：PM是该圆的切线.可以设圆心为O,可以用平面几何知识解,或用平面
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 11:46:38
平面向量证明题如图,过圆外一点P作两条割线交于点A、B、C、D,AC、BD延长线交于点E,AD、BC交于点F,连接EF交该圆,再连接PM.求证：PM是该圆的切线.可以设圆心为O,可以用平面几何知识解,或用平面
平面向量证明题
如图,过圆外一点P作两条割线交于点A、B、C、D,AC、BD延长线交于点E,AD、BC交于点F,连接EF交该圆,再连接PM.求证：PM是该圆的切线.
可以设圆心为O,
可以用平面几何知识解,
或用平面向量解（可以建立坐标系）.
平面向量证明题如图,过圆外一点P作两条割线交于点A、B、C、D,AC、BD延长线交于点E,AD、BC交于点F,连接EF交该圆,再连接PM.求证：PM是该圆的切线.可以设圆心为O,可以用平面几何知识解,或用平面
这个题还算挺适合向量法的.
设圆心为O,半径为r.简记向量OA,OB,OC,OD为a,b,c,d,有a² = b² = c² = d² = r².
由P,A,B共线,可设OP = ta+(1-t)b,同理由P,C,D共线,可设OP = sc+(1-s)d.
于是ta+(1-t)b = sc+(1-s)d ①.
变形为(t/(t-s))a+(-s/(t-s))c = ((1-s)/(t-s))d-((1-t)/(t-s))b ②.
由左端知该向量末端在直线AC上,由右端知该向量末端在直线BD上,于是该向量就是OE.
同理可得OF = (t/(t+s-1))a+((s-1)/(t+s-1))d = (s/(t+s-1))c+((t-1)/(t+s-1))d ③.
考虑(t-s)OE·OP = t²a²-sta·c+(1-t)(1-s)b·d-(1-t)²d² = (2t-1)r²-sta·c+(1-t)(1-s)b·d.
②式两边平方得t²a²+s²c²-2sta·c = (1-s)²d²+(1-t)²b²-2(1-t)(1-s)b·d.
故-sta·c+(1-t)(1-s)b·d = ((1-s)²d²+(1-t)²b²-t²a²-s²c²)/2 = (1-s-t)r².
代回得到OE·OP = r².同理可得OF·OP = r².
由M,E,F共线,可设OM = uOE+(1-u)OF,则OM·OP = uOE·OP+(1-u)OF·OP = r².
由M在圆上,有OM² = r²,故PM·OM = (OM-OP)·OM = OM²-r² = 0.
于是直线PM垂直于半径OM外端,即PM为圆的切线.
已知条件中关于M的说明只字未提，我敢保证谁能证出来谁比欧几里德还伟大.