分式怎么分解因素

分式怎么分解因素
分式怎么分解因素

分式怎么分解因素
方法 　　因式分解没有普遍的方法,初中数学教材中主要介绍了提公因式法、公式法.而在竞赛上,又有拆项和添减项法,分组分解法和十字相乘法,待定系数法,双十字相乘法,对称多项式轮换对称多项式法,余数定理法,求根公式法,换元法,长除法,除法等.
　　注意三原则
　　1 分解要彻底
　　2 最后结果只有小括号
　　3 最后结果中多项式首项系数为正（例如：-3x^2+x=-x(3x-1)）
编辑本段基本方法 ⑴提公因式法
　　各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的公因式.
　　如果一个多项式的各项有公因式,可以把这个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式,这种分解因式的方法叫做提公因式法.
　　具体方法：当各项系数都是整数时,公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母,而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式,多项式的次数取最低的.
　　如果多项式的第一项是负的,一般要提出“-”号,使括号内的第一项的系数成为正数.提出“-”号时,多项式的各项都要变号.
　　口诀：找准公因式,一次要提净；全家都搬走,留1把家守；提负要变号,变形看奇偶.
　　例如：-am+bm+cm=-m(a-b-c)；
　　a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b).
　　注意：把2a^2+1/2变成2(a^2+1/4)不叫提公因式
　　⑵公式法
　　如果把乘法公式反过来,就可以把某些多项式分解因式,这种方法叫公式法.
　　平方差公式：a^2-b^2=(a+b)(a-b)；
　　完全平方公式：a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2；
　　注意：能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式,另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
　　立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2)；
　　立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)；
　　完全立方公式：a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3=(a±b)^3．
　　公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca)
　　例如：a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2.
　　（3）分解因式技巧
　　1.分解因式与整式乘法是互为逆变形.
　　2.分解因式技巧掌握：
　　①等式左边必须是多项式；
　　②分解因式的结果必须是以乘积的形式表示；
　　③每个因式必须是整式,且每个因式的次数都必须低于原来多项式的次数；
　　④分解因式必须分解到每个多项式因式都不能再分解为止.
　　注：分解因式前先要找到公因式,在确定公因式前,应从系数和因式两个方面考虑.
　　3.提公因式法基本步骤：
　　（1）找出公因式；
　　（2）提公因式并确定另一个因式：
　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数在确定字母；
　　②第二步提公因式并确定另一个因式,注意要确定另一个因式,可用原多项式除以公因式,所得的商即是提公因式后剩下的一个因式,也可用公因式分别除去原多项式的每一项,求的剩下的另一个因式；
　　③提完公因式后,另一因式的项数与原多项式的项数相同.
编辑本段竞赛用到的方法 ⑶分组分解法
　　分组分解是解方程的一种简洁的方法,我们来学习这个知识.
　　能分组分解的方程有四项或大于四项,一般的分组分解有两种形式：二二分法,三一分法.
　　比如：
　　ax+ay+bx+by
　　=a(x+y)+b(x+y)
　　=(a+b)(x+y)
　　我们把ax和ay分一组,bx和by分一组,利用乘法分配律,两两相配,立即解除了困难.
　　同样,这道题也可以这样做.
　　ax+ay+bx+by
　　=x(a+b)+y(a+b)
　　=(a+b)(x+y)
　　几道例题：
　　1. 5ax+5bx+3ay+3by
　　解法：=5x(a+b)+3y(a+b)
　　=(5x+3y)(a+b)
　　说明：系数不一样一样可以做分组分解,和上面一样,把5ax和5bx看成整体,把3ay和3by看成一个整体,利用乘法分配律轻松解出.
　　2. x^3-x^2+x-1
　　解法：=(x^3-x^2)+(x-1)
　　=x^2(x-1)+ (x-1)
　　=(x-1)(x2+1)
　　利用二二分法,提公因式法提出x2,然后相合轻松解决.
　　3. x2-x-y2-y
　　解法：=(x2-y2)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y)-(x+y)
　　=(x+y)(x-y-1)
　　利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然后相合解决.
　　
　　
⑷十字相乘法
　　这种方法有两种情况.
　　①x²+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
　　这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此,可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分x²+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) ．
　　②kx²+mx+n型的式子的因式分解
　　如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m时,那么kx²+mx+n=(ax+b)(cx+d)．
　　图示如下：
　　×
　　c d
　　例如：因为
　　1 -3
　　×
　　7 2
　　-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
　　所以7x²-19x-6=(7x+2)(x-3)．
　　十字相乘法口诀：首尾分解,交叉相乘,求和凑中
　　
⑸裂项法
　　这种方法指把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项）,使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解.这钟方法的实质是分组分解法.要注意,必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
　　例如：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
　　=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
　　=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
　　=(c+b)(c-a)(a+b)．
　　
　　
⑹配方法
　　对于某些不能利用公式法的多项式,可以将其配成一个完全平方式,然后再利用平方差公式,就能将其因式分解,这种方法叫配方法.属于拆项、补项法的一种特殊情况.也要注意必须在与原多项式相等的原则下进行变形.
　　例如：x²+3x-40
　　=x²+3x+2.25-42.25
　　=(x+1.5)²-(6.5)²
　　=(x+8)(x-5)．
　　
⑺应用因式定理
　　对于多项式f(x)=0,如果f(a)=0,那么f(x)必含有因式x-a．
　　例如：f(x)=x²+5x+6,f(-2)=0,则可确定x+2是x²+5x+6的一个因式.(事实上,x²+5x+6=(x+2)(x+3)．)
　　注意：1、对于系数全部是整数的多项式,若X=q/p（p,q为互质整数时）该多项式值为零,则q为常数项约数,p最高次项系数约数；
　　2、对于多项式f(a)=0,b为最高次项系数,c为常数项,则有a为c/b约数
　　
⑻换元法
　　有时在分解因式时,可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数,然后进行因式分解,最后再转换回来,这种方法叫做换元法.

　　注意:换元后勿忘还元.
　　例如在分解(x²+x+1)(x²+x+2)-12时,可以令y=x²+x,则
　　原式=(y+1)(y+2)-12
　　=y²+3y+2-12=y²+3y-10
　　=(y+5)(y-2)
　　=(x²+x+5)(x²+x-2)
　　=(x²+x+5)(x+2)(x-1)．
　　也可以参看右图.
　　
　　
⑼求根法
　　令多项式f(x)=0,求出其根为x1,x2,x3,……xn,则该多项式可分解为f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn) ．
　　例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6时,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
　　则通过综合除法可知,该方程的根为0.5 ,-3,-2,1．
　　所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)．
　　
　　
⑽图象法
　　令y=f(x),做出函数y=f(x)的图象,找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)……(x-xn)．
　　与方法⑼相比,能避开解方程的繁琐,但是不够准确.
　　例如在分解x^3 +2x^2-5x-6时,可以令y=x^3; +2x^2 -5x-6.
　　作出其图像,与x轴交点为-3,-1,2
　　则x^3+2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)．
　　
　　
⑾主元法
　　先选定一个字母为主元,然后把各项按这个字母次数从高到低排列,再进行因式分解.
　　
　　
⑿特殊值法
　　将2或10代入x,求出数p,将数p分解质因数,将质因数适当的组合,并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式,将2或10还原成x,即得因式分解式.
　　例如在分解x^3+9x^2+23x+15时,令x=2,则
　　x^3 +9x^2+23x+15=8+36+46+15=105,
　　将105分解成3个质因数的积,即105=3×5×7 ．
　　注意到多项式中最高项的系数为1,而3、5、7分别为x+1,x+3,x+5,在x=2时的值,
　　则x^3+9x^2+23x+15可能等于(x+1)(x+3)(x+5),验证后的确如此.
　　
　　
⒀待定系数法
　　首先判断出分解因式的形式,然后设出相应整式的字母系数,求出字母系数,从而把多项式因式分解.
　　例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4时,由分析可知：这个多项式没有一次因式,因而只能分解为两个二次因式.
　　于是设x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)

　　=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
　　由此可得a+c=-1,
　　ac+b+d=-5,
　　ad+bc=-6,
　　bd=-4．
　　解得a=1,b=1,c=-2,d=-4．
　　则x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4)．
　　也可以参看右图.
　　
　　
⒁双十字相乘法
　　双十字相乘法属于因式分解的一类,类似于十字相乘法.
　　双十字相乘法就是二元二次六项式,启始的式子如下:
　　ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f
　　x、y为未知数,其余都是常数
　　用一道例题来说明如何使用.
　　例：分解因式：x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12．
　　分析：这是一个二次六项式,可考虑使用双十字相乘法进行因式分解.
　　图如下,把所有的数字交叉相连即可
　　x 2y 2
　　① ② ③
　　x 3y 6
　　∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6)．
　　双十字相乘法其步骤为：
　　①先用十字相乘法分解2次项,如十字相乘图①中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y)；
　　②先依一个字母（如y）的一次系数分数常数项.如十字相乘图②中6y²+18y+12=(2y+2)(3y+6)；
　　③再按另一个字母（如x）的一次系数进行检验,如十字相乘图③,这一步不能省,否则容易出错.
编辑本段多项式因式分解的一般步骤
　　①如果多项式的各项有公因式,那么先提公因式；
　　②如果各项没有公因式,那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
　　③如果用上述方法不能分解,那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
　　④分解因式,必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止.
　　也可以用一句话来概括：“先看有无公因式,再看能否套公式.十字相乘试一试,分组分解要合适.”
　　几道例题
　　1．分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2．
　　原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（补项）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)（完全平方）
　　=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
　　=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
　　=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
　　=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
　　=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)．
　　2．求证：对于任何实数x,y,下式的值都不会为33：
　　x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5．
　　原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
　　=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
　　=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
　　=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
　　=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)．
　　（分解因式的过程也可以参看右图.）
　　当y=0时,原式=x^5不等于33；当y不等于0时,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四个以上不同因数的积,所以原命题成立.
　　3.．△ABC的三边a、b、c有如下关系式：-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求证：这个三角形是等腰三角形.
　　分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解.
　　证明：∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
　　∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0．
　　∴(a-c)(a+2b+c)=0．
　　∵a、b、c是△ABC的三条边,
　　∴a＋2b＋c＞0．
　　∴a－c＝0,
　　即a＝c,△ABC为等腰三角形.
　　4．把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式.
　　-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
　　=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1)．

什么意思？