作业帮不等式cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0对于一切x∈[0,π/2]恒成立,求m的取值范围自己纠结了两天了……
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 14:32:01
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不等式cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0对于一切x∈[0,π/2]恒成立,求m的取值范围自己纠结了两天了……
不等式cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0对于一切x∈[0,π/2]恒成立,求m的取值范围
自己纠结了两天了……
不等式cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0对于一切x∈[0,π/2]恒成立,求m的取值范围自己纠结了两天了……
cos2x=1-2(sinx)^2
所以cos2x+sinx=1-2(sinx)^2+sinx=-2(sinx-1/4)^2+1/8
因为x∈[0,π/2],所以sinx∈[0,1],
所以cos2x+sinx的最小值为2（1/4-1/4)^2+1/8=1/8
又对于一切x∈[0,π/2]恒成立
所以1/8+2-√(2m+1)≥0,m
cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0,1-2sin²x+sinx+2-√(2m+1)≥0，-2(sinx-1/4)²+25/8-√(2m+1)≥0，
√(2m+1)≤25/8-2(sinx-1/4)²，x∈[0,π/2]，0≤sinx≤1，当sinx-1/4=0，25/8-2(sinx-1/4)²有最大值25/8；当sinx-1/4=3/4，...
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cos2x+sinx+2-√(2m+1)≥0,1-2sin²x+sinx+2-√(2m+1)≥0，-2(sinx-1/4)²+25/8-√(2m+1)≥0，
√(2m+1)≤25/8-2(sinx-1/4)²，x∈[0,π/2]，0≤sinx≤1，当sinx-1/4=0，25/8-2(sinx-1/4)²有最大值25/8；当sinx-1/4=3/4，25/8-2(sinx-1/4)²有最小值=25/8-2*9/16=2。则2≤√(2m+1)≤25/8，m的取值范围：3/2≤m≤561/128
cos²x+sinx+2-√(2m+1)≥0，√(2m+1)≤13/4-(sinx-1/2)²，x∈[0,π/2]，0≤sinx≤1，当sinx-1/2=0，13/4-(sinx-1/2)²有最大值13/4；当sinx-1/2=1/2时，13/4-(sinx-1/2)²有最小值3。则3≤√(2m+1)≤13/4，m的取值范围：4≤m≤153/32。
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