在△CAB,△DEB中,CA=CB,DE=DB,∠ACB=∠EDB=90°

在△CAB,△DEB中,CA=CB,DE=DB,∠ACB=∠EDB=90°
在△CAB,△DEB中,CA=CB,DE=DB,∠ACB=∠EDB=90°

在△CAB,△DEB中,CA=CB,DE=DB,∠ACB=∠EDB=90°
(1)CM=DM,且CM⊥DM.
证明:∵∠ACE=90°;M为AE的中点.(见原图5.)
∴CM=AE/2=AM(直角三角形斜边的中线等斜边的一半)
∴∠MCA=∠MAC,则∠CME=∠MCA+∠MAC=2∠MAC.
同理可证:DM=AE/2,∠DME=2∠MAD.
∴CM=DM;∠CME+∠DME=2(∠MAC+∠MAD)=90°,即CM⊥DM.
(2)⊿DEB绕点B旋转时,(1)中的结论"CM=DM,CM⊥DM"不发生变化.
①证明:延长CM到F,使MF=CM.连接EF,DF,CD.(见下方左图)
∵MF=CM,ME=MA,∠EMF=∠AMC.
∴⊿EMF≌⊿AMC(SAS),EF=AC=BC;∠EFM=∠ACM,得EF∥AC.
又AC⊥BC,故EF⊥BC,则∠FED+∠COE=90°;
又∠CBD+∠BOD=90°,∠COE=∠COE.
∴∠FED=∠CBD(等角的余角相等).
∵EF=BC;DE=DB;∠FED=∠CBD.
∴⊿FED≌⊿CBD(SAS),DF=DC;∠FDE=∠CDB.
则∠FDC=∠EDB=90°.故CM⊥DM;DM=CF/2=CM.(等腰三角形"三线合一")
②延长CM到F,使MF=CM,连接EF,DF,CD.(见下方中图).
同理可证⊿EMF≌⊿AMC,EF=AC=CB,∠MEF=∠MAC.
∴∠DEF=360°-(∠MEF+∠MEB+∠DEB)=360°-(∠MAC+∠MEB+45°)=360°-(∠CAB+∠BAM+
∠MEB+45°)=360°-(90°+∠BAM+∠MEB)=360°-90°-(∠BAM+∠MEB)=270°-(180度-∠ABE)=90°+∠ABE=∠CBD;又EF=CB,DE=DB.
∴⊿EDF≌⊿BDC(SAS),DF=CD;∠EDF=∠BDC.
则∠CDF=∠BDE=90°.故CM⊥DM;DM=CF/2=CM.
③延长CM到F,使MF=MC,连接EF,DF,CD,延长EF交BD于O,交BC于N.(见下方右图)
与①同理可证:EF=AC,EF∥AC;又AC垂直BC,则EF垂直BC.
∴∠CBD+∠BON=90°;又∠DEF+∠DOE=90°,∠BON=∠DOE.
∴∠CBD=∠DEF(等角的余角相等);又EF=BC,DE=DB.
则⊿DEF≌⊿DBC(SAS),DF=DC;∠EDF=∠BDC.
∴∠CDF=∠EDB=90°;又MF=MC.
故CM=DM;CM⊥DM. 

①若D点在AB上，因△ABC，△BDE均为等腰直角三角形

∴点E必然在BC上，且有ED⊥AB

在△ACE中，AC⊥CE，∴A,C,E三点共圆，且AE为直径

M为AE中点，∴有CM=AM=EM

又ED⊥AB，∴点D也必然在同一个圆上，

∴有DM=AM=EM=CM，即CM=DM

（其实可以用与后一题相同的证法，但用此法相对简...

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①若D点在AB上，因△ABC，△BDE均为等腰直角三角形

∴点E必然在BC上，且有ED⊥AB

在△ACE中，AC⊥CE，∴A,C,E三点共圆，且AE为直径

M为AE中点，∴有CM=AM=EM

又ED⊥AB，∴点D也必然在同一个圆上，

∴有DM=AM=EM=CM，即CM=DM

（其实可以用与后一题相同的证法，但用此法相对简单一点）

②若△BDE沿B点转动，连接CD，延长ED,CB相交于F

取CD中点N，沿EN作射线EH，交AC延长线于H

在线段EH上取NG=EN，连接AG,CG,MN

∵N为CD,EG中点，∴CN=DN, EN=GN, 

又∠END=∠CNG，∴△END≌△CNG       (SAS)

∴ED=CG, ED∥CG，∴∠F=∠BCG

又∠F+∠DBF=90°，∠BCG+∠GCH=90°，

∴∠DBF=∠GCH => ∠DBC=∠DCA

又AC=BC, GC=ED=BD，∴△ACG≌△CBD   (SAS)

∴ AG=CD；∵M,N为AE,GE中点，∴MN∥AG，且MN=1/2AG

∴MN=1/2CD，即MN=CN=DN

设AG与CD相交于P，∵CG∥ED，∴∠CDE=∠GCD

又∠CDE+∠CDB=90°，∠CDB=∠AGC

∴∠GCD+∠AGC=90°，即∠CPG=90°，∴AG⊥CD

又MN∥AG，∴MN⊥CD，

综合可知，MN垂直平分CD，∴MC=MD

∴无论△BDE如何旋转，始终有MC=MD的定量关系

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