高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 17:02:08
高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).
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高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).
高数证明题-涉及可导性与连续性
已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).

高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x).
F(x)在x=0处可导,那么lim(x→0)(F(x)-F(0))/(x-0)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)
那么定义G(x)= F(x)/x x不等于0
F‘(0) x=0
那么G(x)有定义
且lim(x→0)G(x)=lim(x→0)F(x)/x=F'(0)=G(0)
所以G(x)在x=0处连续,满足题意

只需要证明下面的G(x)在0处连续
x!=0时，G(x)=F(x)/x,
x=0时，G(x)=F'(0)
证明如下：
Lim(x->0)G(x)=LimF(x)/x
根据罗比达法则有，LimF(x)/x=LimF'(x)/1=F‘(0)
所以Lim(x->0)G(x)=F‘(0) ，也就是G(x)在0点的极限等于自身的函数值，所以G(x)在0处连续。

定义：G(x)=F(x)/x，x≠0，G(0)=F'(0)
因为：lim（G(x))=lim F(x)/x=lim(F(x))-F(0))/(x-0)=F'(0)=G(0)
所以G在0处连续，且F(x)=xG(x)

高数证明题-涉及可导性与连续性已知 F 在0处可导,且 F (0) =0.证明：存在一个在0处连续的函数G,使得对于所有x都有 F(x) = x G（x). 高数证明连续性和可导性, 高数连续性的证明题 高数证明题-连续性已知 f 在R上连续,当x属于有理数,f (X) = 0.证明：f (x) 在R上都为0 一道高数的证明题（连续性余可导性）y=|sinx|在X＝0处的连续性与可导性 函数的连续性,高数证明 高数 函数连续性题 高数连续性可导性讨论函数f（x）=sinx,x＜0,x,x≥0 在点x=0处的连续性与可到性. 高数,证明一函数的可导性,连续性我证出来了,可导性怎么证明? 高数证明题目 涉及中值定理 高数函数连续性 第五题 高数,函数连续性 高数 函数 连续性 高数:连续性问题. 概率论与数理统计,有点涉及高数, 讨论函数在=0处的连续性与可导性 大一高数 证明连续性和可导性 大一高数 函数的连续性与间断点问题