作业帮证明：任意奇次项实系数多项式必有根?请给出具体充分点的证明.
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 23:51:21
证明：任意奇次项实系数多项式必有根?请给出具体充分点的证明.
证明：任意奇次项实系数多项式必有根?
请给出具体充分点的证明.
证明：任意奇次项实系数多项式必有根?请给出具体充分点的证明.
我刚刚答过,你说你不懂这两步
lim(x→-∞)f(x)=-∞
lim(x→+∞)f(x)=+∞
当an>0时有：
lim(x→-∞)f(x)/x^n
=lim(x→-∞)[anx^n/x^n+a(n-1)x^(n-1)/x^n+.+a1x/x^n+a0/x^n]
=lim(x→-∞)[an+a(n-1)/x+...+a1/x^(n-1)+a0/x^n]
=an+0+0+0.+0
=an
lim(x→-∞)x^n明显=-∞
所以有lim(x→-∞)f(x)=an*(-∞)=-∞
同理可证lim(x→+∞)f(x)=+∞
有什么不懂的地方可以提出来
当x趋向于无穷大时，f(x)趋向于无穷大
当x趋向于负无穷大时，因为最高次项是奇次幂，所以f(x)趋于负无穷大
所以必能找出区间[a,b]，使f(b)>0,f(a)<0
根据布尔查诺-柯西第一定理，在[a,b]中必有一点c，使得f(c)=0。
应该是必有实根
由高斯的代数基本定理
一元n次多项式在复数范围内有n个跟
所以奇次实系数多项式在复数范围内有奇数个根
因为系数是实数，所以虚数根都是成对出现，即一个虚数是根，则它的共轭虚数也是根
所以虚数根的个数是偶数
复数根的数量是奇数，而虚数根的个数是偶数
所以不可能全都是虚根，即必有实根...
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应该是必有实根
由高斯的代数基本定理
一元n次多项式在复数范围内有n个跟
所以奇次实系数多项式在复数范围内有奇数个根
因为系数是实数，所以虚数根都是成对出现，即一个虚数是根，则它的共轭虚数也是根
所以虚数根的个数是偶数
复数根的数量是奇数，而虚数根的个数是偶数
所以不可能全都是虚根，即必有实根
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