作业帮[关于函数凸凹性问题]今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下： f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1, 有 f(px1+qx2)
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/14 23:59:12
![[关于函数凸凹性问题]今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下： f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1, 有 f(px1+qx2)](/uploads/image/z/6606970-34-0.jpg?t=%5B%E5%85%B3%E4%BA%8E%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%87%B8%E5%87%B9%E6%80%A7%E9%97%AE%E9%A2%98%5D%E4%BB%8A%E7%9C%8B%E5%88%B0%E5%AF%B9%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%87%B8%E5%87%B9%E7%9A%84%E4%B8%80%E4%B8%AA%E5%AE%9A%E4%B9%89%2C%E5%85%B7%E4%BD%93%E5%A6%82%E4%B8%8B%EF%BC%9A+f%28x%29%E5%9C%A8%EF%BC%88a%2Cb%EF%BC%89%E5%8C%BA%E9%97%B4%E5%86%85%E6%9C%89%E5%AE%9A%E4%B9%89%2C%E5%AF%B9%E4%BB%BB%E6%84%8F%E7%9A%84x1%2Cx2%E2%88%88%EF%BC%88a%2Cb%29++++++%E4%BB%BB%E6%84%8Fp%2Cq%3E0%2C%E4%B8%94p%2Bq%3D1%2C+++++++++%E6%9C%89++f%28px1%2Bqx2%29)
[关于函数凸凹性问题]今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下： f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1, 有 f(px1+qx2)
[关于函数凸凹性问题]
今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下：
f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1,
有 f(px1+qx2)
[关于函数凸凹性问题]今看到对函数凸凹的一个定义,具体如下： f(x)在（a,b）区间内有定义,对任意的x1,x2∈（a,b) 任意p,q>0,且p+q=1, 有 f(px1+qx2)
两者的表述方式是一致的
我用的是 清华大学出版社 的 <高等数学>
上面就是用f[(x1+x2)/2] < [f(x1)+ f(x2)]/2 来定义的
说到证明,这个是定义啊,有什么好证明的,
就像说要证明"两组对边平行的四边形是平行四边形"一样
只有用这个定义来证明其他定理的
举个例子:
凹函数一个定理: 若f(x)有二阶导数f''(x),那么f''(x) < 0
这个定理倒是可以用定义f(px1+qx2) <pf(x1)+qf(x2)来证明
既然你都学到高数了,那就用一下泰勒展开式的内容了
详细过程请见下图:
注意，凹凸函数定义不能取等号的。
我觉得f(px1+qx2)
充分条件很明显
必要条件
如果f(x)有二阶导数，那么证明f(px1+qx2)
全部展开
注意，凹凸函数定义不能取等号的。
我觉得f(px1+qx2)
充分条件很明显
必要条件
如果f(x)有二阶导数，那么证明f(px1+qx2)
f(x1)+f(x2)>2f[(x1+x2)/2]
2f[(x1+x2)/2]+2f(x2)>4f[(x1+3x2)/4]
……
f(x1)+f(x2)+2f(x2)+2^2f(x2)+...+2^(n-1)f(x2)>2^nf[(x1+2^n-1x2)/2^n]
即f(x1)+(2^n-1)f(x2)>2^nf{[x1+(2^n-1)x2]/2^n}
发现一个规律，所以
一个同理，加若干f(x1)、f(x2)，使之系数对应相等，比如f(x1)+f(x2)+2f(x2)+4f(x1)+8f(x1)+16f(x2)...
可以得到
记max{Ai,Bj}+1=S
f(x1)(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)+f(x2)(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)=2^Sf{[(x1)(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)+(x2)(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)]/2^C}
Ai、Bj合在一起刚好是正整数列，若Cn是正整数列（最大项相等），则Cn=Ai+Bj，S=Cn+1
若令
(1+2^A1+2^A2+...+2^Ai)/2^S=p
(1+2^B1+2^B2+...+2^Bj)/2^S=q
刚好p+q=1
难点就在于需要证明p、q可以取完所有有理数，若p、q可以取完小于1的所有正有理数，那么可以由有理数的稠密性得到，极限状态可以取完所有无理数。
也就是类似0.5+0.25+0.075+0.0625+...（中间某些项可能没有）能取完所有小于1的所有正有理数。看起来貌似是可以取完的。原谅我不擅长数论。
从而就有pf(x1)+qf(x2)>f(px1+qx2)
收起
不妨记点A(x1,f(x1)),B(x2,f(x2)),
f(px1+qx2) 即是指区间[x1,x2](或者x1>x2时[x2,x1])上的任意一个点的函数值.
pf(x1)+qf(x2),表示线段AB
也就是对任意区间[x1,x2]的函数值不超过线段AB