作业帮正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边长,万分感激
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 16:34:59
正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边长,万分感激
正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边
正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边长,
万分感激
正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边正方形ABCD内点P到A.B.C三点的距离之和的最小 值为根号2+根号6,求此正方形的边长,万分感激
√首先要向伟大的法国数学家费马致敬,因为我接下来的证明将有用到他有关于“费马点”的证明：
如图,P'为一动点位于BD上,P为BD中点:
P'P=a*(√2/2)*tanM
P'A=a*(√2/2)/cosM=P'C
P'B=PB-P'P=a*(√2/2)(1-tanM)
所以P'B+P'A+P'C=a*[√2*secM+(√2/2)(1-tanM)]=F(M)
对F(M)求导数：
F'(M)=a*[(√2*secM*tanM)-(√2/2)(secM)^2],
令F'(M)=0则有：
a*(√2*secM*tanM)=a*(√2/2)*(secM)^2
同时在方程左右除以a*secM≠0,得：
√2*tanM=(√2/2)*secM
求得sinM=1/2
所以M=30°
再次验证是极小值点,对F(M)求2阶导数有：
F''(M)=√2*a[(secM)^3+(tanM)^2*secM]-√2*a(secM)^2*tanM
代入M=30°有F''(30°)=√2*a[8/(3*√3)+2/(3*√3)]-√2*a(4/3*√3/3)
=√2*a[10/(3*√3)-4/(3*√3)]=(6√6)*a/9>0
一阶导数等于零,二阶导数大于零,则此点为极小值点.
当M=30°时,
F(M)=a*[(√2*2/√3)+(√2/2)(1-√3/3)]=a*[2√6/3+√2/2-√6/6]
=a/6*[3√2-3√6],由于题设给出了F(M)=√2+√6.所以a=2
费马点是与三点连线所成的三个角都是120°的点.
经计算
AP'C=BP'C=AP'B=120°是费马点,这就是我开头所写的话的原因.
这就是为什么蜂房的建造,蜜蜂总是把蜂房分成六角形的原因,节约材料a
感谢楼主出的三角形是特殊三角形,不然以我的功力根本解不出来这个题,
请楼主多多留意关于费马点的概念及性质!楼上的解法明显有问题,而且答案也错了,对于一般人来讲,可以通过sin15°=1/4(√6-√2)
cos15°=1/4（√6+√2）猜测此题肯定与15°角有关,事实确是如此,BAP'=15°=BCP',可以在省略以上证明的情况下试算边长与题设的对应情况以解题!
答：正方形的边长为1+√3 如图，设点P到AB,CB的距离分别为y和x.则: PB=√(x²+y²), PA=√[(a-x)²+y²]=√[(a²+x²+y²-2ax], PC=√[(a-y)²+x²]=√[(a²+x²+y²-2ay], 对于上式，只有x=y时，PB最小，此时三线段之和为： （√2）x+2√(2x²-2ax+a²） 即：(√2)x+2√[2(x-a/2)²+(a²/2)] 所以：当x=a/2时，上式值最小，最小值是(√2)a 所以：根据已知有(√2)a=(√2)+(√6),即a=1+√3