如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/16 07:34:16
如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
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如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值

如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值
一、当直线AB不存在斜率时,AB的方程显然是x＝－1.
　　令x^2＋2y^2＝2中的x＝－1,得：1＋2y^2＝2,∴y^2＝1/2,∴y＝√2/2,或y＝－√2/2.
　　∴此时｜AB｜＝√2.
　　很明显,点O到AB的距离＝1.∴此时S(△AOB)＝（1/2）｜AB｜×1＝√2/2.
二、当直线AB存在斜率时,令其斜率＝k,则AB的方程是：y＝k（x＋1）,即x＝y/k－1.
　　联立：x＝y/k－1、x^2＋2y^2＝2,消去x,得：（y/k－1）^2＋2y^2＝2,
　　∴（1/k^2）y^2－（2/k）y＋1＋2y^2＝2,∴（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0.
　　∵A、B都在直线x＝y/k－1上,∴可令A、B的坐标分别为（m/k－1,m）、（n/k－1,n）.
　　显然,m、n是方程（2＋1/k^2）y^2－（2/k）y－1＝0的根,∴由韦达定理,有：
　　m＋n＝（2/k）/（2＋1/k^2）、mn＝－1/（2＋1/k^2）.
　　∵直线AB过点（－1,0）,∴m、n异号,不妨设m＞0,则｜m｜＋｜n｜＝m－n.
　　∴此时,
　　S(△AOB)
　　＝（1/2）｜m｜＋（1/2）｜n｜＝（1/2）（m－n）＝（1/2）√［（m＋n）－4mn］.
　　自然,当［（m＋n）－4mn］有最大值时,S(△AOB)就有最大值.
　　而［（m＋n）－4mn］
　　＝（2/k）/（2＋1/k^2）＋4/（2＋1/k^2）
　　＝2/（k＋2/k）＋4/（k＋2/k）＝6/（k＋2/k）.
　　考虑到椭圆的对称性,只需要考虑k＞0就可以了,此时有k＋2/k≧2√2,
　　∴［（m＋n）－4mn］≦6/（2√2）＝（3/2）√2.
　　∴此时S(△AOB)的最大值＝（1/2）√［（3/2）√2］＝（1/4）√（6√2）.
∵64＜72,∴8＜6√2,∴2√2＜√（6√2）,∴√2/2＜（1/4）√（6√2）.
∴综合一、二,得：S(△AOB)的最大值是（1/4）√（6√2）.

答案是1/2根号2。过程很复杂。真要的话，我拍照给你。

 快乐欣儿姐 有错。不是m+n，是m+n的平方，漏了平方。

方法是将方程AB与椭圆解析式联之成方程组，设A(x1，y1)B(x2，y2)，代入y，用韦达定理将S三角表示成关于K(AB斜率)的解析式，但是计算过于复杂，是否抄错题目？？？？

如图4过椭圆x^2+2y^2=2的一个焦点（-1,0）作直线交椭圆A,B两点O为坐标原点.求三角形AOB面积的最大值 设AB是过椭圆中心的弦,F是椭圆的一个焦点.则三角形ABC最大面积?椭圆为x^2+2y^2=1 求过椭圆9x^2+4y^2=36的一个焦点,斜率为2的直线被椭圆截得的弦|AB|. 过椭圆4x^2+y^2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交于A、B两点,则△ABF2的周长是多少? 如图,把椭圆的长轴AB分成8等份,过每个分点作x轴的垂线交椭圆的上半部分于把椭圆x^2/25 +y^2/16=1 的长轴AB八等分,过每个分点做x轴的垂线交椭圆的上半部分于P1,P2,P3……P7七个点,F是椭圆的一个 如图,点A是椭圆：x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个顶点.过A作斜率为1的直线交椭圆于另一点p,点B在y轴上,且BP//x轴,向量AB*向量AP=9,若B点坐标为（0,1),求椭圆方程. 过椭圆4x^2+2y^2=1的一个焦点F1直线与椭圆交于AB两点,则AB两点与椭圆的两一个焦点F2构成三角形ABF2求三角形ABF2的周长 过椭圆4x^2+2y^2=1的一个焦点F1直线与椭圆交于AB两点,则AB两点与椭圆的两一个焦点F2构成三角形ABF2,求其周长 双曲线x^2/2-y^2/2=1的准线过椭圆x^2/4+y^2/b^2=1的焦点,则直线y=kx+2与椭圆至多有一个交点的充要条件是? 已知双曲线x^2/2-y^2/2=1 的准线过椭圆x^2/4+y^2/b^2 的焦点,则直线y=kx+2 与椭圆至多有一个交点的充要条件是 椭圆的几何方程与椭圆4x^2+9y^2=36有相同的焦点,且过点(-3,2)椭圆方程 过椭圆4x^2+y^2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交与A,B两点,则A与B和椭圆的另一焦点F2构成的△ABF2的周长? 过椭圆4x^2+y^2=1的一个焦点F1的直线与椭圆交与A,B两点,则A与B和椭圆的另一焦点F2构成的△ABF2的周长?求真相. 已知椭圆c的中心在坐标原点,长轴长为4,且抛物线y方=4x的准线领过椭圆的一个焦点,求椭圆方程,2,设过焦点f的直线y=k（x-1）,k不等于0,交椭圆与ab两点,试问在x轴是否存在定点p让pf始终评分角apb. 过椭圆4x^2+2y^2=1的一个焦点f1的直线与椭圆交于A,B两点,则A,B与椭圆的另一个焦点F2构成三角形ABF2的周长是 如图,F是椭圆x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的一个焦点,A,B是椭圆的两个顶点,椭圆的离心率为1/2,点C在X轴上,BC⊥BF,B,C,F三点确定的园M恰好与直线 L1：x+√3y+3=0相切.（1）求椭圆的方程（2）过点A的直线 L2与 椭圆与椭圆9x²+4y²=36有相同的焦点,并且过点（2,-3）,求此椭圆方程 过椭圆X^2/9 +Y^2/4 =1与椭圆X^2/4 +Y^2/9 =1的交点的圆的方程是