作业帮用定积分求极限 第4题,
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/01 10:27:31
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用定积分求极限 第4题,
用定积分求极限 第4题,
用定积分求极限 第4题,
先是些题外话
如果a_n=n^{\alpha},这个简单的情形要会用定积分做
如果只有a_n~n^{\alpha}但不要求用定积分做,那么至少要会用Stolz定理来做,也是一步就出结果的
前面有限项不影响最终结果
如果上面这些都知道那么就是技术上的问题了
记b_n=n^{\alpha},A = lim (b_1+...+b_n)/n^{1+\alpha} = 1/(1+\alpha),这个用定积分做
对任何\epsilon>0,存在常数N>0,当n>N时(1-\epsilon)b_n<a_n<(1+\epsilon)b_n
由于前N项不影响结果,所以取上极限可得 limsup (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= (1+\epsilon)A,取下极限可得liminf (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} >= (1-\epsilon)A
用几何意义解释就是除了0附近之外那个和恰好介于函数(1-\epsilon)x^{\alpha}和(1+\epsilon)x^{\alpha}的定积分之间
由于\epsilon的取法任意,让\epsilon->0可得
A <= liminf (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= limsup (a_1+...+a_n)/n^{1+\alpha} <= A
这个做法本质上完全是用定积分来解,只是这些技术的灵活应用你可能得消化消化