设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0

来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 22:35:18
设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0
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设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0
设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0

设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0
首先,若f(x),f'(x),f"(x)或f"'(x)有零点,则在零点处成立f(x)f'(x)f"(x)f"'(x) = 0.
故只需考虑它们都没有零点的情形.
此时由f(x),f'(x),f"(x)连续,它们在R上的符号恒定.
注意到f(x),-f(x),f(-x),-f(-x)这四个函数及其导数的符号分别相同或相反.
且如果用它们来替代f(x)时,f(x)f'(x)f"(x)f"'(x)的取值不改变.
因此不妨设f(x)与f'(x)都恒大于0.
下面证明f"(x)恒大于0.
用反证法,假设f"(x)恒小于0,则f'(x)单调递减,于是对t < b,有f'(t) > f'(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f'(t) = (f(x)-f(b))/(x-b).
于是f(x) = f(b)+(x-b)f'(t) < f(b)+(x-b)f'(b).
但当x趋于-∞,易见f(b)+(x-b)f'(b)同样趋于-∞,与f(x)恒大于0矛盾.
因此f"(x)不恒小于0,又f"(x)符号恒定,故f"(x)恒大于0.
最后只需证明f"'(x)不恒小于0.
用反证法,假设f"'(x)恒小于0,则f"(x)单调递减,于是对t < b,有f"(t) > f"(b) > 0.
对任意x < b,由Lagrange中值定理存在x < t < b使f"(t) = (f'(x)-f'(b))/(x-b).
于是f'(x) = f'(b)+(x-b)f"(t) < f'(b)+(x-b)f"(b).
但当x趋于-∞,易见f'(b)+(x-b)f"(b)同样趋于-∞,与f'(x)恒大于0矛盾.
因此f"'(x)不恒小于0,即存在c使f"'(c) ≥ 0.
此时有f(c)f'(c)f"(c)f"'(c) ≥ 0.

设函数f(x)=|x|,则函数在0处的导数是?存不存在 设f(x)在(-∞,∞)三阶可导,证:存在c∈(-∞,∞),使得f(c)f'(c)f''(c)f'''(c)≥0 设函数f(x)在(-∞,+∞)上可导,若实数a,使f'(x)+af(x) 设函数f(x)在(-∞和+∞)上连续,则d(f(x)dx)等于 设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,且f(a)>0,f'(a)a时,f''(x) 设f(x)在[a,+∞)内二阶可导,且f(a)>0,f'(a)a时,f''(x) 设定义在(-∞,3]上的减函数f(x)满足f(a^2-x) 设f(x)在(－∞,＋∞)内有定义,证明:f(x)+f(－x)为偶函数,而f(x)-f(－x)为奇函数. 设函数f(x)在(-∞,+∞)可导,且满足f(0)=1,f'(x)=f(x),证明f(x)=e^x 设f (x)在x=0处可导,且f (0)=0,求证：lim(x→∞)f (tx)-f (x)/x=(t-1)f' (0) 证明：设f(x)在(-∞,+∞)内可导,如果f(x)为周期函数,则f'(x)为周期函数. 设f(x)在(+∞,-∞)内可导,求证:(1)若f(x)为奇函数,则f(x)为偶函数. 设函数f(x)在（-∞,+∞)内有定义,f(0)不等于0,f(xy)=f(x)f(y),证明：f(x)=1 设f'(x)在(0,+∞)上单调递增,且f(x)=0,证明F(x)=f(x)/x在(0,+∞)上单调增加 设函数f(x)在(a,+∞ )上可导,且lim(x->+∞ )(f(x)+f'(x))=0,证明:lim(x->+∞ )f(x)=0 设函数f(x)在(-∞,+∞)有定义,证明F(x)=[f(x)]^2/｛1+[f(x)]^4｝在(-∞,+∞)上是有界函数.用到的知识点 设F(X)在a 设F（x)=(f(x)-f(a))/(x-a),(x>a)其中f(x)在[a,+∞）上连续,f''(x)在（a,+∞)内存在且大于0,求证F（x)在（a,+∞)内单调递增.