作业帮谁能告诉我泰勒公式的推导?
来源：学生作业帮助网 编辑：作业帮 时间：2024/11/15 07:46:15
谁能告诉我泰勒公式的推导?
谁能告诉我泰勒公式的推导?
谁能告诉我泰勒公式的推导?
函数f(x)在点x0某邻域内具有直到n+1阶导数,我们希望找到一个n次多项式Pn(x)=a0+a1(x-x0)+a2(x-x0)^2+…+an(x-x0)^n,使这个多项式与f(x)在x0处具有相同的函数值及相同的直到n阶的导数值,容易确定这个多项式就是
Pn(x)=f(x0)+f'(x0)(x-x0)+[f''(x0)/2!](x-x0)^2+…+
+[f(x0)/n!](x-x0)^n
这个多项式就称为f(x)在x0处的n阶泰勒公式.
确定Pn(x)一点也不困难,困难的是证明泰勒公式的余项
Rn(x)=f(x)-Pn(x)=[f(ξ)/(n+1)!](x-x0)^(n+1)（ξ在x与x0之间）,这需要用n+1次柯西中值定理,教科书上都有详细的证明,可参阅同济高等数学第五版上册p138、p139页.
泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……② ...
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泰勒公式在x=a处展开为
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+(1/2!)f''(a)(x-a)^2+……+(1/n!)f(n)(a)(x-a)^n+……
设幂级数为f(x)=a0+a1(x-a)+a2(x-a)^2+……①
令x=a则a0=f(a)
将①式两边求一阶导数，得
f'(x)=a1+2a2(x-a)+3a3(x-a)^2+……②
令x=a,得a1=f'(a)
对②两边求导，得
f"(x)=2!a2+a3(x-a)+……
令x=a,得a2=f''(a)/2!
继续下去可得an=f(n)(a)/n!
所以f(x)在x=a处的泰勒公式为：
f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+[f''(a)/2！](x-a)^2+……+[f(n)(a)/n!](a)(x-a)^n+……
应用：用泰勒公式可把f(x)展开成幂级数，从而可以进行近似计算，也可以计算极限值，等等。
另外，一阶泰勒公式就是拉格朗日微分中值定理
f(b)=f(a)+f(ε)(b-a),ε介于a与b之间。
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